２０２２－２０２３下学年高三年级ＴＯＰ二十名校猜题大联考（一）
高三理科数学参考答案
１．【答案】 Ｄ
，Ｎ＝ｘ｜ｘ＜２或ｘ＞３{}，所以选择Ｄ．２．【答案】 Ｂ
【解析】 因为ｚ＝３＋ａｉ２＋ｉ＝６＋ａ＋２ａ－３()ｉ
５
机械运动复习６＋ａ＞０２ａ－３＜０
{
，解得－６＜ａ＜３２，因此ａ槡＜３是－６＜ａ＜３
２必要不充分条件，故答案为Ｂ．３．【答案】 Ｃ
【解析】 设直线ＡＢ的倾斜角为θ，ＡＦＢＦ＝１＋ｃｏｓθ１－ｃｏｓθ＝１３ ，解得ｃｏｓθ＝－１２，又因为θ∈０，π
[)，所以θ＝２
π３．４．【答案】 Ｃ
【解析】 因为周期性声音函数是一系列形如ｙ＝Ａｓｉｎωｘ的简单正弦型函数之和，每一个函数ｙ＝Ａｓｉｎωｘ都是奇函数，所以声音函数是奇函数，Ａ选项错误；
因为ｆｘ()＋ｆπ－ｘ()＝２ｓｉｎｘ，所以ｆｘ()＋ｆπ－ｘ()＝
０不恒成立，所以Ｂ选项错误根据“这个声音的频率ｆ是这些正弦型函数中的最低频率，而且其他函数的频率都是ｆ的整数倍”，又ｆ＝ω２π
所以Ｃ选项正确；因为ｓｉｎｘ≤１ｓｉｎ２ｘ≤１
{，所以ｓｉｎｘ＋１２ｓｉｎ２ｘ≤３
２，
而ｓｉｎｘ＝１ｓｉｎ２ｘ＝１{
无解，所以Ｄ选项错误；故答案为Ｃ．５．【答案】 Ｄ
【解析】 因为只需考虑从五个位置中选出两个位置放数字１、２，则ｎ（Ａ）＝Ｃ２ ５＝
１０个，ｎ（ＡＢ）＝４，所以ＰＢ｜Ａ()＝
ｎＡＢ()ｎＡ()＝４１０＝２
５，故答案为Ｄ．６．【答案】 Ｂ
【解析】 设该二阶等差数列为ａｎ
{}，从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列ｂｎ{}，其中ｂ１＝２，公差为２；所以ａ１３＝ａ１
＋１２ｂ１＋ｂ１２
()２＝１＋１２２＋２４()２＝１５７．７．【答案】 Ｄ
【解析】 因为ｓｉｎα＋π６()－ｃｏｓα＝４５，所以槡３２
ｓｉｎα－１２ｃｏｓα＝４５，即ｓｉｎα－π６()
＝４５，所以ｃｏｓ
α＋π３()＝ｃｏｓα－π６()＋π２()＝－ｓｉｎα－π６()
＝－４５．故选择Ｄ．８．【答案】 Ｂ
【解析】 由ｅ１－ｅ２＝槡
３得ｅ１、ｅ２夹角为１２０°，设ｅ１＝ＯＡ→ ，ｅ２＝ＯＢ→ ，２ｅ２＝ＯＤ→ ，ａ＝ＯＣ→ 如下图，则点Ｃ在以点Ｄ为圆心，半径为１的圆上运动，所以当Ａ、Ｄ、Ｃ三点共线时，最小值为槡７－１，故答案为Ｂ．
９．【答案】 Ａ
【解析】 因为ｆ（２ｘ＋２）的图象关于ｘ＝－１
２
对称，所以ｆ２ｘ＋２()＝ｆ（２－ｘ－１()＋２）＝ｆ－２ｘ()，
于是ｆｔ＋２()＝ｆ－ｔ()，所以ｆｘ()的周期为４，所以ｆ２０２３()＝ｆ（３）＝ｆ－１()，又因为ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，所以ｆ－１()＝－ｆ１()＝－１．故答案为Ａ．１０．【答案】 Ａ
【解析】 根据题意三棱锥Ｐ－ＡＢＣ可以补成分别以ＢＣ，ＡＢ，ＰＡ为长、宽、高的长方体，其中ＰＣ
为长方体的对角线，则三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的外接球球心即为ＰＣ的中点，要使三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的外接球的体积最小，则Ｐ Ｃ最小．设ＡＢ＝ｘ，则ＰＡ＝ｘ，ＢＣ＝６－ｘ，ＰＣ＝３ｘ２
－４ｘ＋１２()槡
，
所以当ｘ＝２时，ＰＣｍｉｎ＝槡２６，则有三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的外接球的球半径最小为槡６，所以Ｖｍｉｎ＝４３πＲ３＝槡８６π．１１．【答案】 Ｂ
【解析】 当ｎ＝１时，２Ｓ１＝２ａ１＝３ａ１－１，可得ａ１＝
１；当ｎ≥２时，２Ｓｎ＝３ａｎ－１，２Ｓｎ－１＝３ａｎ－１－１ｎ≥２()，相减得ａｎ＝３ａｎ－１
ｎ≥２()，所以数列ａｎ{}是以３为公比的等比数列，则ａｎ＝
３ｎ－１
；由ｆｘ＋１()＝１＋ｆｘ()
１－ｆｘ()
，ｆ２()＝槡２－１可得ｆ１()＝１－槡２，ｆ３()＝槡２＋１，ｆ４()＝－１－槡２，ｆ５()＝１－槡２……，由此可知函数ｆｘ()是以４为周期的周期函数，
所以ｆａ２０２３()＝ｆ３２０２２()＝ｆ４－１()２０２２
()＝ｆ１()＝１－槡
２．１２．【答案】 Ｃ
【解析】 由已知得ｘ２
ｆ′（ｘ）＋２ｘｆ（ｘ）＝ｌｎｘ
设ｇ（ｘ）＝ｘ２
ｆ（ｘ），则ｇ′（ｘ）＝ｌｎｘ，ｆ（ｘ）
＝ｇ（ｘ）ｘ
２ｆ′（ｘ）＝ｘｌｎｘ－２ｇ（ｘ）ｘ３
，设ｈ（ｘ）＝ｘｌｎｘ－２ｇ（ｘ），则ｈ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋１－２ｇ′（ｘ）＝１－ｌｎｘ∴当０＜ｘ＜ｅ时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）单调递增；当ｘ＞ｅ时，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）单调递减
∴ｈ（ｘ）≤ｈ（ｅ）＝ｅｌｎｅ－２ｇ（ｅ）＝ｅ－２×ｅ２×１２ｅ
＝０，∴ｆ′（ｘ）≤０，ｆ（ｘ）在（０，＋∞）
上单调递减又∵ｓｉｎ１３＜１３＜ｔａｎ１
３，∴ｆｔａｎ１３()＜ｆ１３()＜ｆｓｉｎ１３()
．
１３．【答案】 ０．２中铁航空港
【解析】 因为ｆｘ()＝ｘ２－２ａｘ＋６的最小值为－３，所以ｆａ()＝
－ａ２＋６＝－３，即ａ２＝９，又ａ＞０，所以ａ＝３，即根据正态分布的对称性，正态分布Ｎ（３，σ２）
的正态密度曲线关于ｘ＝３对称，即Ｐ（ξ＞３）＝０．５，而Ｐ３＜ξ≤４
()＝０．３，所以Ｐξ＞４()＝０．２，故Ｐ（ξ＜２）＝Ｐ（ξ＞４）＝０．２，故答案为０．２．１４．【答案】 －槡
３３
２
【解析】 因为函数ｆｘ()＝３ｓｉｎωｘ＋φ
()ω＞０，φ＜π
２()
的最小正周期为π，所以ω＝２；又由函数ｆｘ()的图象关于直线ｘ＝π３对称，可得２π３＋φ＝π２＋ｋπ，ｋ∈Ｚ
，且φ＜π２，所以φ＝－π６；则ｆｘ()＝３ｓｉｎ２ｘ－π６()，所以ｆ－π４()
＝
－槡３３２．１５．【答案】 ３６
ｅ
常艳现状
４
【解析】 （解法一）设ｆ（ｘ０）＝０，ｘ０∈ｅ２，ｅ４
[]，则ｍｘ０－槡２＋槡２ｎ－ｌｎｘ０－２＝０ｍ２＋ｎ２
表示原点Ｏ（０，０）与点Ｍ（ｍ，ｎ）距离的平方，由点到直线的距离公式得：
ｍ２＋ｎ２＝ｌｎｘ０＋２ｘ０
－槡２()２＋槡２()槡２
２
＝ｌｎｘ０＋２ｘ槡０()
２，设ｘ槡０＝ｔ，ｔ∈ｅ，ｅ２
[]ｄ（ｔ）＝２ｌｎｔ＋２ｔ，ｄ′（ｔ）＝－２ｌｎｔｔ
２，当ｔ∈ｅ
，ｅ２[]时，ｄ′（ｔ）＜０，ｄ（ｔ）在ｅ，ｅ２
[]单调递减∴ｄ（ｔ）最小值＝ｄ（ｅ２）＝２ｌｎｅ２＋２ｅ２＝６ｅ
２，从而ｍ２＋ｎ２
的最小值为３６ｅ４
．（解法二）依题：方程ｍｘ－槡２＋槡２ｎ－２＝ｌｎｘ在区间ｅ２，ｅ４[]上有解，设ｈｘ()＝ｍｘ－槡２＋槡
２ｎ－２，ｇｘ()＝ｌｎｘ，即函数ｈｘ()与函数ｇｘ()的图象在区间ｅ
２，ｅ４
[]上有公共点．情形１：当ｍ＞０时，有ｍｅ２
－槡２＋槡
２ｎ－２≤２ｍｅ４－
槡２＋槡２ｎ－２≥４ｍ＞０
{
，所以点Ｍｍ，ｎ(
)所在平面区域如图１所示，于是原点Ｏ（０，０）到点Ｍｍ，ｎ()的最小距离平方为ｄ２１＝３６ｅ
４；
图１
情形２：当ｍ＝０时，有２≤槡２ｎ－２≤４
，所以点Ｍｍ，ｎ()所在平面区域如图２所示，于是原点Ｏ（０，０）到点Ｍｍ，ｎ()的最小距离平方为ｄ２
２＝
８；
结缔组织增生图２
情形３：当ｍ＜０时，有ｍｅ２
－槡２＋槡
２ｎ－２≥２，ｍｅ４－
槡２＋槡２ｎ－２≤４ｍ＜０，
{
，所以点Ｍｍ，ｎ()所在平面区域如图３所示，于是原点Ｏ（０，０）到点Ｍｍ，ｎ()的最小距离平方为
ｄ２
３＝
８；图３
综上，ｍ２＋ｎ２
的最小值为３６ｅ４．
１６．【答案】槡
２５【解析】 Ａ２，０()，Ｂ０，４()．２ＭＡ＋ＭＢ＝２ＭＡ＋１
２ＭＢ()
，设Ｃ０，ｎ()，
点Ｍ在圆上运动时，始终有ＭＣ＝１２ＭＢ，设Ｍｘ０，ｙ０()则有ｘ２０＋ｙ０－ｎ()２＝１４
ｘ２０＋ｙ０－４()２[]，又有ｘ２０＋ｙ２
０＝４，可得２１－ｎ()ｙ０＋ｎ２
－１()＝０即１－ｎ()２ｙ０
－１－ｎ()＝０，所以ｎ＝１，Ｃ０，１()∴２ＭＡ＋ＭＢ＝２ＭＡ＋１
２ＭＢ()
除铁＝２ＭＡ＋ＭＣ()≥２ＡＣ＝槡２５．１７．【答案】 见解析
【解析】 （１）因为ｂｃｏｓＡ－ａｃｏｓＢ＝ａ＋ｃ，
由余弦定理得ｂ
·ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ－ａ·ａ２＋ｃ２－ｂ
２２ａｃ
＝ａ＋ｃ，即ａ２＋ｃ２－ｂ２
＝－ａｃ，２分………………………………………………………………………………所以ｃｏｓＢ
＝ａ２＋ｃ２－ｂ２
２ａｃ＝－１２
．３分……………………………………………………………………又Ｂ∈０，π
()，４分……………………………………………………………………………………
所以Ｂ＝２鲎血
π３
５分………………………………………………………………………………………（２）由余弦定理得：ａ２＋ｃ２－２５＝－ａｃ，６分……………………………………………………………由三角形面积公式，１２ａ＋ｂ＋ｃ()·ｒ＝１２ａｃｓｉｎＢ，即ａ＋ｃ＝２ａｃ－５，７分……………………………联立得ａｃ＝４
２１，９分…………………………………………………………………………………所以Ｓ△Ａ
ＢＣ＝１２×４２１×槡３２＝槡２１３
１６．１２分………………………………………………………………１８．【答案】 （１）连接ＤＦ、ＯＦ
在△ＡＢＣ中，Ｏ、Ｆ分别为ＡＢ、ＢＣ的中点，所以ＯＦ∥Ａ
Ｃ因为ＡＣ 平面ＡＣＥ，ＯＦ 平面Ａ
ＣＥ所以ＯＦ∥平面ＡＣＥ，２分……………………………………………………………………………在矩形ＯＡＥＤ中，ＯＤ∥Ａ
Ｅ同理可得ＯＤ∥平面Ａ
ＣＥ，３分………………………………………………………………………又ＯＦ∩ＯＤ＝Ｏ所以平面ＯＤＦ∥平面ＡＣＥ，４分……………………………………………………………………因为ＤＦ 平面Ｏ
ＤＦ所以ＤＦ∥平面ＡＣＥ，５分……………………………………………………………………………（２）过点Ｃ做ＣＭ⊥ＡＢ交ＡＢ于点Ｍ，连接ＭＥ由题可知ＯＤ⊥平面ＡＢＣ，且ＯＤ∥ＡＥ所以ＡＥ⊥平面ＡＢＣ则ＡＥ⊥Ｃ
Ｍ又ＡＢ∩ＡＥ＝Ａ所以ＣＭ⊥平面ＯＡＥＤ
∴ＣＥ在平面ＯＡＥＤ影为ＭＥ则∠ＣＥＭ即为ＣＥ与平面ＯＡＥＤ所成的角
所以∠ＣＥＭ＝３０°在△ＡＢＣ中，，由
１２ＡＢ·ＣＭ＝１２ＡＣ·ＢＣ可知ＣＭ＝
槡３２
则ＣＥ＝槡３，ＡＥ＝槡２７分………………………………………………………………………………以Ｃ为坐标原点，ＡＣ、ＢＣ所在直线为ｘ、ｙ轴，过点Ｃ垂直于平面ＡＢＣ为ｚ轴，建立空间直角坐标系，则Ｃ０，０，０()，Ａ－１，０，０()，Ｄ－１２，－槡３２
，槡２()
，Ｅ－１，０，槡２()，ＡＥ→ ＝０，０，槡２()，ＥＤ→ ＝１２，－槡
３２
，０(
)
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