统计学基础——常⽤的概率分布（⼆项分布、泊松分布、指数 变量类型：
1. 连续型变量 如：指数分布、正态分布
2. 离散型变量 如：⼆项分布、泊松分布
三者之间的关系
⼆项分布(Binomial distribution)
⼆项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布，记作。伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验。 伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如，抛⼀次硬币是正⾯向上吗？刚出⽣的⼩孩是个⼥孩吗？等等如果试验E是⼀个伯努利试验，将E独⽴重复地进⾏n次，则称这⼀串重复的独⽴试验为n重伯努利试验。
进⾏⼀次伯努利试验，成功(X=1)概率为p(0<=p<=1)，失败(X=0)概率为1-p，则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布，伯努利分布(Bernoulli distribution)⼜名两点分布或0-1分布。
⼆项分布的三个特点：
每次实验结果，只能是两个互斥的结果之⼀。
各次实验独⽴，各次的实验结果互不影响。。
相同的实验条件下，每次实验中事件A的发⽣具有相同的概率。
⼆项分布的概率函数可⽤公式
其中，
对于任何⼆项分布，总有
例1.如果某地钩⾍感染率为13%，随机观察当地150⼈，其中恰好有10⼈感染钩⾍的概率有多⼤？
分析： （1）钩⾍感染只有两个互斥的结果，即感染与⾮感染； （2）每个⼈被钩⾍感染的概率相同； （3）⼈与⼈之间钩⾍感染可假设为相互独⽴的，所以感染钩⾍的⼈数 X 可认为服从 n = 150，π = 0.13的⼆项分布。
⼆项分布的特征
是⼆项分布的两个参数，所以⼆项分布的形状取决于(阳性率）。
当 =0.5时分布对称，近似对称分布。
当 ≠0.5时，分布呈偏态，特别是 较⼩时， 偏离0.5越远，分布的对称性越差，但只要不接近1和0时，随着的增⼤，分布逐
渐逼近正态。
当或 不太⼩，⽽ ⾜够⼤，通常 和 均⼤于或等于5，我们常⽤正态近似的原理来处理⼆项分布的问题。
⼆项分布的正态近似
根据中⼼极限定理，在较⼤，与 均⼤于或等于5时，⼆项分布接近与正态分布。
当 ⽆穷⼤时，⼆项分布B()的极限分布是总体均数为，总体标准差为的正态分布，此时可⽤该正态分布进⾏估计。
⼆项分布的均数和标准差
对于任何⼀个⼆项分布，如果每次试验出现“阳性” 结果的概率均为，则在 次独⽴重复实验中:
1、出现 X 次阳性结果
总体均数（出现阳性结果的次数X的均值）：
标准差（出现阳性结果的次数X的标准差）：
2、阳性结果的频率记做为
的总体均数（出现阳性结果频率的均值）：
标准差（出现阳性结果频率的标准差）：
是频率P的标准误，反映阳性频率的抽样误差的⼤⼩。
泊松分布(Poisson distribution)
泊松分布是⼆项分布在阳性率特别⼩时的⼀种情形，⽤于描述单位时间、空间、⾯积等的罕见事件发⽣次数的概率分布，如：每毫升⽔中的⼤肠杆菌数
单位时间(如1分钟)内放射性质点数
每1000个新⽣⼉中某出⽣缺陷、多胞胎、染⾊体异常等事件出现的例数
泊松分布的三个特点：
泊松分布是⼆项分布当中的⼀种特殊情况，则泊松分布也遵循⼆项分布的三个特点：
观察结果相互独⽴
每次试验只有两个结果
发⽣的概率不变
如，⼈中传染性疾病⾸例出现后便成为传染源，会增加后续病例出现的概率，因此病例数的分布不能看作是Poisson分布。
⼜如，污染的⽜奶中细菌成集落存在，单位容量⽜奶中细菌数不能认为服从Poisson分布。
泊松分布分布⼀般记作，其概率函数为:
式中，为Poisson分布的总体均数(表⽰概率)； 为观察单位内某稀有事件的发⽣次数； 为⾃然对数的底，为常数，约等于2.71828，⾃然对数的底数e是由⼀个重要极限给出的：当趋于⽆限时，。
深圳银湖旅游中心泊松定理（泊松分布是⼆项分布当中的⼀种特殊情况）
设随机变量服从⼆项分布，即。其中，是与有关的数，且设是常数，则有，
证明：依题设有，代⼊中，有
中日韩有线一卞二苄三卞
对于固定的，有
（根据）
所以，
可见，⼆项分布的极限分布是泊松分布，当n很⼤，很⼩时，可⽤近似代替
，⼀般时，可采⽤上次近似公式代替。
泊松分布的特征
随着的增⼤，Poisson分布逐渐趋于对称分布。
当>20时，Poisson分布可视为近似正态分布。
下图表⽰出了对泊松分布的影响，表⽰泊松分布的均值。当变⼤时，不仅整个分布模式向右移动，数据也更加分散，⽅差随之变⼤。
泊松分布的特性甲基铝氧烷
总体均数与总体⽅差相等：均为 。
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可加性：从总体均数分别为 1 和 2 的两个Poisson分布总体中各⾃随机抽出⼀份样本，其中稀有事件的发⽣次数分别为 和 ，则合计发⽣数也服从Poisson分布，总体均数为 1 + 2 。
可加性的运⽤：分5次，每次都是监测5毫升的⽔样，得到的都⽐20⼩，但是5次相加的之后形成的⽐20⼤的话，我们就可以10毫升⽔样当中的细菌数的分布⽤正态近似法了
例：某放射性物质半⼩时内发出的脉冲数服从Poisson分布，平均为 360个，试估计该放射性物质半⼩时内发出的脉冲数⼤于400个的概率。
其中，0.5表⽰连续型校正，表⽰处理离散型变量，应⽤到连续型的正态分布的时候，效果更佳的⼀种修正。
注意：泊松分布不具备可乘性。
指数分布
设随机变量X的分布密度函数为
其中为常数，我们称服从参数为的指数分布，记作，其相应的分布函数为
和的图形见下图。
指数分布的特性
总体均数，总体⽅差。
指数分布通常⽤作各种“寿命”的分布。例如，⽆线电元件的寿命，动物的寿命等，另外电话问题的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可以认为服从指数分布，因此，它在排队论和可靠性理论等领域中有⼴泛的应⽤。
例、某电⼦元件的使⽤寿命X是⼀个连续型随机变量，其概率密度为
(1)确定常数k
(2)求寿命超过100⼩时的概率
(3)已知该元件已经正常使⽤200⼩时，求它⾄少还能正常使⽤100⼩时的概率。
解：
(1)由概率密度函数性质2知
，得。
(2)寿命超过100⼩时的概率为
(3)条件概率
由(2),(3)可知，该元件寿命超过100⼩时的概率等于已使⽤200⼩时的条件下⾄少还能使⽤100⼩时的概率，这个性质称为指数分布
的“⽆记忆性”。
若随机变量X对任意的都有，则称X的分布具有⽆记忆性。
因此，指数分布具有⽆记忆性，若某元件或动物的寿命服从指数分布，则上式表明，如果已知寿命长于s年，则再“活”t年的概率与s⽆关，即对过去的s时间没有记忆，也就是说只要在某时刻s仍“活”着，它的剩余寿命的分布和原来的寿命分布相同，所以⼈们也戏称指数分布是“永远年轻的”。
神经元模型
正态分布(Normal distribution)
，
规定了曲线的形状，反应了其在横轴上的位置不同。
正态分布的特征
关于对称，即正态分布以均数为中⼼，左右对称。
在处取得概率密度函数的最⼤值，在处有拐点，表现为 钟形曲线。即正态曲线在横轴上⽅均数处最⾼。
正态分布有两个参数，即均数和标准差。是位置参数，是变异度参数（形状参数）。常⽤
表⽰均数为，标准差为的正态分布；⽤表⽰标准正态分布。
正态曲线下⾯积分布有⼀定规律。横轴上正态曲线下的⾯积等于1（也常写作100%）。
正态⽅程的积分式（概率分布函数）:
概率分布函数即为正态概率密度曲线下的⾯积 。
为正态变量的累计分布函数，反映正态曲线下，横轴尺度⾃到的⾯积，即下侧累计⾯积。
标准正态分布
均数为0，标准差为1的正态分布，这种正态分布称为标准正态分布。
对于任意⼀个服从正态分布的随机变量，可作如下的标准化变换，也称(z-score)变换：
其中，，标准正态分布的概率密度函数：
标准正态分布⽅程积分式(概率分布函数)：
为标准正态变量的累计分布函数，反映标准正态曲线下，横轴尺度⾃到的⾯积，即下侧累计⾯积，如下图所⽰。
标准正态分布表
⽤查表代替计算必须注意：
表中曲线下⾯积为到的⾯积。
当，和已知时，先求出值， ，再⽤Z值查表，得所求区间占总⾯积的⽐例。
当和未知时，要⽤样本均数和样本标准差来估计值，。
曲线下对称于0的区间，⾯积相等。
宋坚
曲线下横轴上的⾯积为1 （即100% ）。
正态分布是⼀种对称分布，其对称轴为直线，即均数位置。
理论上：
范围内曲线下的⾯积占总⾯积的68.27%
范围内曲线下的⾯积占总⾯积的95%
范围内曲线下的⾯积占总⾯积的99%
实际上：
范围内曲线下的⾯积占总⾯积的68.27%
范围内曲线下的⾯积占总⾯积的95%
范围内曲线下的⾯积占总⾯积的99%
实际应⽤中，我们⼀般将1.96看似成2，2.58看似成3。
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