第31卷第4期电子与信息学报Vol.31No.4 2009年4月Journal of Electronics & Information Technology Apr. 2009
王鞠庭江胜利刘中
(南京理工大学电子工程系南京 210014)
摘要：该文研究了复合高斯杂波下MIMO雷达DOA估计的平均克拉美-罗下限(Average CRB, ACRB)。首先，给出了MIMO雷达信号与杂波模型；然后，推导出目标DOA估计ACRB的一般关系式，在此基础上给出当杂波texture分量满足反Gamma分布时，ACRB的闭合表达式；接着，研究了目标DOA估计的中断CRB(Outage CRB)，克服了一个发射单元时ACRB发散的问题；最后进行计算机仿真并给出结论。结果表明MIMO雷达的空间分集能有效地降低其DOA估计ACRB，且ACRB随发射单元数量的提高而减小；另外在相同条件下，MIMO雷达在复合高斯背景下DOA估计的ACRB大于相应高斯背景下的ACRB。 关键词：MIMO雷达；复合高斯杂波；DOA估计；平均克拉美-罗下限
中图分类号：TN957.51文献标识码：A文章编号：1009-5896(2009)04-0786-04巴布尔
Cramer-Rao Bounds of DOA Estimation for
MIMO Radars in Compound-Gaussian Clutter
Wang Ju-ting Jiang Sheng-li Liu Zhong
(Dept. of Electronic Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210014, China)
Abstract: This paper studies the Average Cramer-Rao Bounds (ACRB) for estimating Direction Of Arrival (DOA) in compound-Gaussian clutter using Multi-Input Multi-Output (MIMO) radars. Firstly, the MIMO radar signal and compound-Gaussian clutter models are introduced. Secondly, the general ACRB expression is derived. Then,
a closed-form ACRB is given for the inverse-Gamma distributed texture component. Thirdly, the Outage CRB is
introduced as a supplement to the divergence of ACRB when there is only one transmit radar element. Finally, the DOA estimation performances of MIMO radars are simulated through computer simulations under different conditions. Theoretical analyses and computer simulations show that the
spatial diversity of MIMO radar can improve the performance of DOA estimation effectively. The ACRB decreases as the number of the transmit radar elements increases. It is also found that the ACRB in compound-Gaussian clutter is inferior to that in Gaussian clutter. The research conducted in this paper reveals the fundamental performances of the MIMO radars.
Key words: MIMO radar; Compound-Gaussian clutter; DOA estimation; ACRB
1引言
近年来，随着雷达研究的深入和多输入多输出(Multi- Input Multi-Output, MIMO)通信的快速发展，雷达与MIMO通信交融建立起来的MIMO雷达受到雷达界的广泛关注[19]−。目前的MIMO雷达研究主要集中在两种不同形式的MIMO系统：其一是基于相控阵体制的MIMO雷达，其二是基于多基地(multi-static)或多站点(multi-site)雷达的MIMO雷达。第1类MIMO雷达系统充分考虑到现有相控阵雷达的特点，其雷达单元之间的间距足够小，采用相干处理各单元发射的信号[1,2]。第2类MIMO雷达是构建在多基地或多站点雷达系统基础上，其收发单元间距足够大，从而使得各单元信号相互独立，以此获得空间分集增益提高雷达的检测和估计性能[39]−。
2007-12-28收到，2008-05-20改回
本文重点研究第2类MIMO雷达。文献[3]首次提出此类MIMO雷达的概念，继而人们从不同方面对这类雷达进行了研究。文献[4]在文献[3]的基础上，深入研究了高斯噪声下MIMO雷达的检测问题；文献[6]研究了目标模型对MIMO雷达检测性能的影响；文献[7]研究在复合高斯杂波下，MIMO 雷达的检测问题；文献[8]在文献[7]的基础上，进一步研究了复合高斯杂波下MIMO雷达的恒虚警检测器。文献[9]则研究了MIMO雷达在高斯白噪声下的目标DOA估计性能。
在业已开展的MIMO雷达的参数估计研究方面，目前主要考虑的是高斯噪声背景[9]，有关复合高斯杂波中MIMO雷达的角度估计的文章还鲜见报道。众所周知，实际工作环境下，高分辨雷达和低掠射角雷达等雷达的环境杂波一般满足复合高斯分布[1012]
−，杂波能量的起伏对参数估计精度造成较大的影响，人们深入研究了普通雷达在复合高斯杂波下的各种参数估计问题[1012]
−。因此，开展复合高斯杂波下的
第4期 王鞠庭等：复合高斯杂波中MIMO 雷达DOA 估计的克拉美-罗下限 787 MIMO 雷达目标参数估计和性能分析是MIMO 雷达研究的一个重要方面。本文将研究MIMO 雷达目标DOA 估计的CRB 。
恐怖主义
CRB 是任何无偏估计方差的下限，它给出了参数估计性能的最佳极限。针对同时存在确定性参数和随机参数，人们提出了多种形式CRB 来表征目标参数估计下限，如Hybrid CRB(HCRB), Average CRB(ACRB)等[9,13]。考虑到MIMO 雷达是通过空间分集来提高目标的估计性能，本文重点研究了ACRB ，并分析了信噪比、发射单元数量以及复合高斯噪声Texture 分量对ACRB 的影响。
2 MIMO 雷达信号与杂波模型
本文研究文献[9]所给的MIMO 雷达系统，如图1所示。其发射端由M 个雷达单元构成，每个雷达单元发射相互正交的窄带信号，且所有发射信号能量和为1。接收端通过普通阵列接收回波，并且每个阵列单元都采用M 个匹配滤波器分别处理M 个发射波形，从而形成M 个通道。对回波起伏满足Swerling I 模型的远场静止点目标，MIMO 雷达接收到第i 个发射信号的回波经过匹配滤波器的输出为
01,2,,
,i i i i M α==+y s e
(1)
基础病图1 MIMO 雷达结构框图
其中0()P θ=⊗a s 1，θ为目标相对接收机的DOA ，()θa 为导向向量，P 1为全1列向量，P 为一个相干处理周期(CPI)内的脉冲数；i α为目标对第i 个发射波形的散射系数，服从标准正态分布，且i α在一个CPI 内不变；i e 为第i 个通道中的复合高斯杂波，
其数学表达式为i i =e ，
和i χ分别为Texture 分量和Speckle 分量。i χ是均值为零、协方差矩阵为i R
为非负实随机变量。在实际应用中，复合高斯杂波存在多种分布的Texture 分量，常见的有反Gamma 分布[10,11]，此时i u 的概率密度函数为(;)i u i p u v 1/()
i
v v v u i v u e v Γ−−−=
，其中参数v 决定(;)i u i p u v 的形状。当v →∞ 时，1i u ≡，复合高斯随机变量退化为复高斯随机变量。
将M 个通道的接收回波排成一新的数据向量T
1[,=y y T T T 2,,]M y y ，相应的信号向量为T T T T 10200[,,,]M ααα=s s s s ，杂波向量T T T T 12[,,,]M =e e e e ，由式(1)可得到
=+y s e (2)
假设复合高斯杂波统计特性已知，根据文献[7,8]，可认为各通道的Texture 分量和Speckle 分量都是独立同分布的。因此，接收数据y 的条件概率密度函数为
|0MNP 01H H 1
01
(|;,)||
exp[(
)()]NP
M i i p u ττπ=−=⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
⋅−−−∏y y R R u Y A R Y A u αΣΣ (3)
其中111⎡⎤⎢=⎢u …，12,d ,,iag{}M ααα=A …， 12,diag{,},M =Y y y y …,0M =⊗I s Σ，012diag(,,=R R R ,)M R ，T 12[,,,]M ααα= α。
3 平均克拉美-罗下限(ACRB)
本节给出基于式(2)的目标DOA 估计ACRB 。首先，给出ACRB 的关系式；然后，在此基础上给出当杂波Texture 分量满足反Gamma 分布时，ACRB 的闭合表达式；接着针对ACRB 在只有一个发射单元时发散的缺点，研究了目标
DOA 估计的中断CRB 。为阐述简洁，本节只给出结果，有关推导参见附录。
3.1 ACRB 的关系式
定理1 根据式(2)假设的信号和杂波模型，MIMO 雷达对目标DOA 估计的ACRB 表示为
()222H 11002ACRB(),1 2 (||()||,)2E ||||(||() ||,)4 ) (i i i i M
M NP g v g v M θθθ−⎡⎤⎛⎞⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥=⎣−⎦
≥z z s R s z 其中E()i 表示数学期望，||||i 表示矩阵的F 范数，(,)=g s v
exp (;)d NP
u s u p u v u u ∞
−⎛⎞
⎜−⎜⎝∫，1/201()[],(,)i i i i g s v θα−=−z R y s
010=(),=(,)/exp (;)d , P NP u s g s v s u p u v u u θ∞1984美国忌讳第二部4桥矿
−−⎛⎞
⎟⎜∂∂=−−⎟⎜⎟⎝⎠
⊗∫s a 1()
()θθθ
∂=∂a a
。定理1的证明见附录1。 式(4)表明目标DOA 估计的ACRB 随着发射雷达单元数目的增大而减小。此外，ACRB 还与发射脉冲个数、杂波统计特性、接收阵列单元数以及阵列流形有关系。然而，对于大多数复合高斯杂波而言，由于很难得到闭式，因此无法获得ACRB 与上述参数之间的直接关系，只能通过数值仿真研究。为此，本文在定理2中给出了当Texture 分量为反Gamma 分布时的DOA 估计ACRB 的闭合表达式，并分析了ACRB 与各参数之间的关系。
定理2 当杂波Texture 分量为反Gamma 分布时，MIMO 雷达对目标DOA 估计的ACRB 可表示为
001
(1)
ACRB(), 221i M v NP M M v NP
θ−++=
≥−+s R s
(5)
特别地，当2i σ=R I ，且接收阵列为间距等于半个波长的
788 电 子 与 信 息 学 报 第31卷 均匀线阵时，式(5)可进一步化简为
2
ACRB()13 , 2co (1)
s ()(1)(21)v M M M N N N NP v N P P
θσπθ++=
⋅−+−≥− (6)
当v →∞时，复合高斯杂波退化为复高斯杂波模型，式(6)化简为
()2
223ACRB ,
1cos ()(1)(21) 2M M N N NP
M σθπθ=−−−≥ (7) 由式(5)可以看出目标DOA 估计的ACRB 随着发射单元数量、接收天线数量以及脉冲数的增大而减小；由附录2可知，当,1v M →∞=时，Fisher 信息矩阵退化为
()2H 1002||||i θα−=I s
R s α，这与文献[14]所给复高斯情况下的Fisher 信息矩阵一致。
3.2 中断CRB
式(5)还表明当只有一个发射单元时，DOA 估计的
ACRB 是发散的。下面我们研究中断CRB [9]用以揭示复合高斯杂波下DOA 估计的性能。
目标DOA 估计的中断CRB ，记作out CRB ()p θ=，其意义是：它以概率p 大于2
CRB(|||||)θα，即Pr{CRB(|θ
2
||||)αout CRB ()}p p θ=≥=，其中Pr{}i 表示概率。这可理解为随机变量2
||||α以1p −的概率得到某种实现，使得在这种实现下2CRB(|||||)θα小于out CRB ()p θ=。因此，
out CRB ()p θ=实质上反映了2CRB(|||||)θα的分布情况。
由附录1的式(A6)可以看出，2CRB(|||||)θα的值与
2||||α呈单调递减关系；同时由于i α是独立同分布的标准正
态分布，所以2||||α满足22M χ分布。令221M
F χ−表示22M χ分布的
逆累积分布函数，则()2
221
out ||||M
F p χ−=
α，因此
()out 2222H 11out
002CRB ()
(||()||,)2||||E ||||(||()||,)p i i i i
MNP
g v g v θθθ=−=
⎡⎤
⎛⎞⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦z z s R s z α (8)
4 数值仿真分析
在理论推导的基础上，本节通过计算机仿真模拟MIMO 雷达的目标估计ACRB ，重点研究了其与发射单元数量M ，以及复合高斯杂波Texture 分量参数v 以及信噪比SNR 之间 的关系，其中信噪比定义为SNR =21
E(||||/)
E()tr()
M i i i M μ=∑R α。
在仿真中，目标反射系数i α为零均值，方差为1的复高斯变量。接收天线为间距等于半波长且阵列单元数=6N 的均匀线阵，信号入射角0θ= 。复合高斯杂波Texture 分量服从反Gamma 分布，Speckle 分量2||(,)0.9p q i p q σ−=⋅R exp[(/2)()]j p q π⋅−。
仿真1 ACRB()θ在不同信噪比下与发射单元数M 之
间的关系。
在仿真中一个CPI 内相干脉冲数26 P v ==，，结果如图2所示。由图可以看出，随着M 的增大，ACR
B()θ变小，即估计精度得到改善。这是因为随着M 的增大，即角度分集数量的增大，目标散射系数都小的概率很小，因此对回波起伏的平均效果变好，估计精度得到提高。上述仿真结果与定理1的分析一致。
图2 不同信噪比下ACRB()θ随M 的变化曲线
仿真2 ACRB()θ在不同信噪比下与v 的关系 图3给出14 M P ==，时，ACRB()θ在不同信噪比下与v 的关系。从图中可以看出，随着v 的增大，MIMO 雷达
DOA 估计ACRB()θ变小，复合高斯杂波背景MIMO 雷达DOA 估计精度比高斯背景下的性能差，复合高斯杂波能量的起伏对估计精度带来一定的恶化。该仿真结果与定理2所述的结论一致。
仿真3 中断CRB 与MIMO 雷达发射单元数量关系 图4给出6, 2P v ==时，中断CRB 在不同信噪比下与M 的关系。从图中可以看出，4M =和16M =时，out 0.01CRB ()θ=明显比1M =时小，即MIMO 雷达的空间分
集可以明显提高角闪烁雷达目标DOA 估计精度。
比较仿真1和仿真3，还可以发现：发射分集在对小中断概率情况下中断CRB 的影响要大于对ACRB 的影响。这是因为中断CRB 与概率分布的拖尾效应有关，而ACRB 与
均值有关。
5 结束语
本文讨论了复合高斯背景下的MIMO 雷达DOA 估计的
ACRB 和中断CRB ，特别给出当Texture 分量满足反Gamma 时ACRB 的闭合表达式。结果表明同普通阵列雷达相比，MIMO 雷达利用空间分集有效克服了目标RCS 闪烁效应，从而提高了DOA 估计精度，
并且DOA 估计的
ACRB
图3 不同信噪比下 图4 不同信噪比下中断
ACRB()θ随v 的变化曲线 CRB 随M 的变化曲线
第4期 王鞠庭等：复合高斯杂波中MIMO 雷达DOA 估计的克拉美-罗下限 789 随着发射雷达单元的增大而提高；复合高斯杂波能量的起伏使得DOA 估计精度劣于其在高斯背景下的值。 附录1 定理1证明
首先推导出给定α时的CRB(|)θα，然后给出目标
DOA 估计的ACRB 。
由式(3)可表示为
21
01
(;)(||()||,)||M
i i p g v θθπ==
∏y z R α (A1) 所以条件对数似然函数为
2
01
ln (;)ln ||ln((||()||,))M
i i p g v θπθ===−+∑y R z αL (A2)
则
2H 1/2
H H 1/21002
1(||()||,)[](||()||,)
M
i i i i i i i i i g v g v θααθθ−−=∂=−+∂∑z z R s s R z z L (A3)
因此条件Fisher 信息矩阵
()2H 1/2H H 1/2100212H 1/2H H 1/21001(||()||,)=E [](||()||,)
(||()||,)[](||()||,)M i i i i i i i i i M i i i i i i i i i g v g v g v g v θθααθθααθ−−=−−=⎧⎪
⎪+⎨⎪⎪⎩⎫⎪⎪⋅+⎬⎪⎪⎭∑∑z I z R s s R z z z z R s s R z z α (A4)
由均匀分布球变量的性质[10]可将()θI α简化为
()()2222H 110022||||(||()||,)E ||||(||()||,)i i i i
arm linuxg v MNP g v θθθ−⎡⎤⎛⎞⎟⎢⎥⎜⎟=⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎝⎠⎢⎥⎣⎦z I z s R s z αα (A5)
因此
()2222H 11002(||()||,)2||||E ||||(||()||CRB(|),)=
i i i i
MNP
g v g v θθθ−⎡⎤
⎛⎞⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦z z s R s z αα
(A6)
又i α是独立同分布的标准正态分布，
所以2
||||α满足22M
χ分
布，因此2||111||E M ⎛⎞⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜−⎝
⎠αα，则式(4)成立。 附录2 定理2证明
当i u 为反Gamma 分布时，(),g s v 和()1,g s v 可化简为
()(),=1()NP v NP v NP s g s v v v v ΓΓ−−+⎛⎞⎜+⎜⎝，()11(1),=()NP v NP g s v v v ΓΓ+++− 1
1NP v s v −−−⎛⎞⎟⎜⋅+⎟⎟⎜⎝⎠，则22212(||()||,)E ||||(||()||,)i i i g v g v ρρ⎡⎤⎛⎞⎟⎢⎥⎜⎟=⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎝⎠⎢⎥⎣⎦
z z z ()1
NP v NP v NP +++，故()()2H 1
002||||()1i v NP M v NP θ−+=++I s R s αα，
所以式(5)成立；当2i σ=R I ，且接收阵列为间距等于半个
波长的均匀线阵时，可得
H 100i −=s R s
222
cos ()(1)(21)6N N NP
πθσ−−，所以式(6)成立；当v →∞
馒头国家标准
时，(1)1v NP v NP
++→+，所以式(7)成立。
参 考 文 献
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王鞠庭： 男，1983年生，博士生，研究方向为雷达波形设计与信
号处理.
江胜利： 男，1979年生，博士生，研究方向为雷达波形设计与信
号处理.
刘 中： 男，1963年生，教授，博士生导师，主要研究方向为现
代信号处理、雷达信号处理、混沌与信息动力学.
豫公网安备41160202000603
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