对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。
设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件： 1）
⎰
∞∞
-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；
2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为
⎰∞
∞
benchmark-
独览梅花扫腊雪-=dt e t s S t j ωω)()(
又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为
⎰
∞
∞
-=
ω
ωπ
ωd e S t s t j )(21
)(
信号s(t)的总能量为
⎰∞
∞
-=dt t s E )(2
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即
ωωπ
d S dt t s E 2
2
)(21
)(⎰
⎰∞
∞
-∞
∞-=
=
其中，
2
)
(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
能谱密度存在的条件是
∞<⎰
∞
∞
-dt t s )(2
即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。
6.2 随机过程的功率谱密度
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。
经推导可得，
])([21lim )(2
ωωT T X X E T
S ∞→=
为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。
功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。
可得随机过程的平均功率为 ⎰
∞
∞
-=
ω
ωπ
d S P X X )(21
对于平稳随机过程，其平均功率为
ωωπ
d S t X E X ⎰
∞
∞
-=
圭亚那事件)(21
)]([2
若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即
2
),(21lim )(e X T
S T T X ωω∞→=
6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系
平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：
⎰董事会费
⎰
∞
∞
--∞
∞
-=
=
ω
ωπ
ττ
τωωτ
ωτd e晶炼
S R d e R S j X X j X X )(21
)()()(
丹阳地震它成立的条件是)()(τωX X
R S 和绝对可积，即
∞
<∞<⎰
⎰∞
∞
-∞
∞-ωωττd S d R X X )()(
当0=τ
时，可得
⎰∞
∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2
可知，)]([)0(2
t X E R X
=是平稳随机过程X(t)的平均功率。
6.4 功率谱密度的性质
性质1：)(ωX S 是非负实函数，即0)(≥ωX S 。
性质2：若X(t)是实平稳随机过程，
)
(ωX S 是偶函数，即
)()(ωω-=X X S S 。
对于实平稳随机过程，利用其自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，
又可将维纳－辛钦定理表示成：
⎰⎰∞
∞
=
=0
cos )(1
)(cos )(2)(ω
ωτωπ
ττ
ωττωd S R d R S X X X X
也可以利用只有正频率部分的单边功率谱)(ωX
G ：
⎰⎰∞
∞
=
=0
cos )(21
)(cos )(4)(ω
ωτωπ
ττ
ωττωd G
R d R G X
X X X
其中 0
,0
0,)(2)(<≥
=ωωωωX X S G
例题：
6.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
类似上述的定义，联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度定义为：
)]()([21lim )(*
ωωωT T T XY Y X E T
S ∞→=
)]()([21
lim )(*ωωωT T T YX X Y E T
S ∞→=
对两个联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数求傅立叶变换，可得它们的互功率谱密度，简称互谱密度。
互谱密度与互相关函数之间也存在傅立叶变换关系：
⎰
⎰
∞
∞
--∞
∞
-=
=
ω
ωπ
ττ
τωωτωτd e S R d e R S j XY XY j XY XY )(21
)()()(
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