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高斯分布概率密度函数积分推导

⾼斯分布概率密度函数积分推导

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东北风摄影网⾼斯分布：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})$

标准⾼斯分布：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})$

tcg⼀个⾼斯分布只需线性变换即可化为标准⾼斯分布，所以只需推导标准⾼斯分布概率密度的积分。由：

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}

{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy$

得:

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}

{2})dxdy$

变换为极坐标得：

$x = rcos\theta , y = rsin\theta$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dxdy = \frac{1} {2\pi}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdrd\theta$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dxdy =

\int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdr$

令$t = \frac{r^{2}}{2} $，得：

$\int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdr = \int_{0}^{+\infty }exp(-t)dt = 1$

终得：

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}

{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy = 1$动漫部落

由于标准⾼斯分布概率密度函数$f(x)$满⾜：

$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx = \int_{-\infty }^{+\infty }f(x-c)dx$

$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx = \frac{1}{a}\int_{-\infty }^{+\infty }f(\frac{x}{a})dx$

所以任意⾼斯分布概率密度函数积分为1。

⾼斯分布的均值：

$ E(x) = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})xdx $

$= \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})（x-\mu）dx + \mu\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})dx $

由奇偶性得：

文眉$ E(x) = \mu\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})dx =

\mu$

⾼斯分布的⽅差：

$Var(x) = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})(x-

黄镇将军\mu)^{2}dx$

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}})y^{2}dy = \sigma^{2} $

本文发布于:2024-09-21 01:47:06，感谢您对本站的认可！

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