形如的形式在数学中被定义为复数，其中为虚数单位，、为任意实数。 秘密接头详情要说复数的产⽣，先从数的演变史开始说起。
最初，⼈们从⾃然界中启发，得到了数字1、2、3……，当然还有0，这就是⾃然数，来源⼈们对现实世界的认知。 接着，如果1个馒头要均分给5个⼈，要怎么分，每⼈分多少呢？1段树枝被折成相等的2半，那⼀半是多少，怎么表⽰呢？⼈类为了知识的记录和⽂化的传播，⼀切从简，就发明了分数，当然也可以写成⼩数的形式：
=0.2，=0.5，=0.6等等。
到⽬前为⽌，来⾃于⼈们对现实世界的直观总结所建⽴的数字表达，它有明显的可参照对象、有轨迹可循、看得见、摸得着、想得到，⼈们后来就认为这些都是理所当然的，所以就叫它们为有理数。即所有可以表⽰为分数形式的数都叫有理数，当然⾃然数也可以表⽰为分数
=0，=1，=3，=2，=5……。
随着⼈类⽂化的不断迭代发展，数学运算和数学表⽰在不断的丰富，除了法、-法，根据类似2
2 2（3个2相加）难道就不能表⽰为更简单的形式么？3x2，于是乘法诞⽣，因为对于
3 3 3 3 3 3
3 3这样的繁琐的运算，可以⽤更简单的表⽰8x3，so easy！
⽂化再次不停地迭代，5x5=25，3x3=9，2x2=4，是否完全可以再简单地表达？⼈类总是向着⼤道⾄简的⽬标前进，于是5x5==25，2x2==4……，有了平⽅数。
⼈类⽂化在迭代中不断地向前狂奔，有些⼈就脑洞⼤开了，不对呀！4是2的平⽅，9是3的平⽅，16是4的平⽅，妈呀！也就是说1的平⽅是1，0的平⽅是0，那么在平⽅结果中，只有0、1、4、9、16、25……会出现，那中间是不是少了很多数啊，谁的平⽅是2呢？⼜谁的平⽅是3呢？谁的平⽅是5？……连续⾃然数平⽅的结果并不是连续的⾃然数！
好吧，既然谁也不知道？那就给它个定义吧，难道还有数学不能描述的世界吗？数学就是为⼤世界服务的，必须补上这个漏洞，好嘞，的平⽅就是2，它表⽰=2，类似的=3，甚⾄还有=5等等。
突然感觉不好把握了，那么既然已经定义并存在了，它到底是多少啊？因为1的平⽅是1，2的平⽅是4，
的平⽅是2，所以肯定⽐2⼩，也肯定⽐1⼤，但是能具体和其他数⽐较⼀下吗？⾄少知道⼤概是多少吧？突然发现，这已超出当时⼈类的脑洞了，不好理解了。
毕达哥拉斯（约公元前580⾄公元前500）是古希腊的⼤数学家。他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的⼀切没有不可以⽤数来表⽰的，数本⾝就是世界的秩序。
为了理解，为了客观形象地认识它，就让现实世界来描述它，在⼏何学中，边长为1个单位的正⽅形，其⾯积很好算，⽐如边长为1⽶的正⽅形⼟地⾯积为1x1=1平⽅⽶，那么它的对⾓线是多少？根据勾股定理，设对⾓线长为，那么 =，即=1 1=2，好了，=，对，那个对⾓线的长度就是你们要的的⼤⼩。
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但是，究竟⽐1或者2或者任何其他整数⼤多少，能给⼀个⼤⼩⽐例吗？就像=0.6⼀样。
毕达哥拉斯学派的弟⼦希伯索斯（Hippasus）发现了⼀个惊⼈的事实，⼀个正⽅形的对⾓线与其⼀边的长度是不可公度的（若正⽅形的边长为1，则对⾓线的长不是⼀个像往常⼀样讲道理的数，它不是正常数），它真的没有办法⽤分数来表⽰，可是它确实存在啊！这⼀不可公度性与毕⽒学派的“万物皆为数”（有理数）的哲理⼤相径庭。这⼀发现使该学派领导⼈惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极⼒封锁该发现的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，还是遇到了毕达哥拉斯学派
的门徒，在⼀条海船上被残忍地投⼊了⽔中杀害。
没天理啊，没有道理啊！于是⼀个没有道理的数（⽆理数）就这样出现在了数学领域中。欧⼏⾥得（约公元前330年⾄公元前275年）《⼏何原本》中就提出了⼀种证明是⽆理数的经典⽅法。圆周率、以及后来发现的⾃然常数= ……等等都是⽆理数。
“万物皆为数”如果继续有⽤，那么就得让数域继续膨胀，于是把⽆理数拉进队伍⾥！有理数和⽆理数合在⼀起被称为实数，为什么叫作实数，这是因为和虚数相对应的，有实就有虚，好了，就引出来今天的主⾓，虚数！
如果说实数是来源于对⾃然界数量的刻画（英⽂中标量、也叫纯量scalar，就是刻画的意思），有理数是来源于对⽐列的刻画，⽆理数是来源于对某种长度的刻画，那么，虚数就是⼈为制造的，是在现实⽣活中完全不到实际相应背景的，它⽤英⽂单词imaginary来表⽰，imaginary的英⽂原意即为虚构的、想象的、假象的，简写为。
为什么⾮要假想⼀个这样实际不存在的数呢？因为在当时的数学公理体系中，时常有以下这样的现象发⽣。
芜湖市民心声对于1元2次⽅程=1的解是1和-1，如果是=-1呢？它有解吗？
数学从某种程度上来说，应该是对称的、完美的、⽆所不包的、没有漏洞的，我不能⽆视=-1，好吧，当然我们也可以回避它，在数学史上，⼤家就是这么做的，“我为什么要解决这个问题？”，对于此类问题很长时间都没有需要解决的紧迫性。
⼀个正数乘⼀个正数为正数，⼀个负数乘⼀个负数也是正数，因此，⼀个数⾃乘之后必然为正数，不管这个数是正数还是负数。也正因为如此，古希腊学者丢番图虽然知道1元2次⽅程有2个根，但其中有⼀个为虚数时，他宁可认为这个⽅程是不可解的。⼀直到16世纪，数学家们都普遍认可丢番图这种处理虚数的办法，“我们就是⽆视它！”。
事情的转机是这样的，⼈类不仅仅满⾜于求2次⽅程。
16世纪意⼤利⽶兰学者卡当（1501⾄1576）在1545年发表的《⼤术》⼀书中，公布了3次⽅程的⼀般解法，被后⼈称之为“卡当公式”，由它奠基了3次⽅程解的通⽤公式。
对于3次⽅程 p q = 0的其中⼀个解为：
=
⽐如：- 15- 4 = 0
就会得到= ，对于的出现，按照传统的认识，我们肯定会⼀脸懵逼，按照以前的定论，这个⽅程就该⽆解了，⼀出现负数开平⽅，就像=-1这样，我们会认为是没有结果的，这⼀页会被翻过去的。但是如果你把4带⼊-15- 4 = 0，你会发现它是有解的，⽽且该⽅程通⽤解法的另外两个解公式，也会出现。是公式错了吗？也不是啊，当没有出现负数开⽅的时候，依靠公式计算的结果就是正确的啊！
好吧，那么就让我们暂且勇敢⼀点，认为是没有错误的，因为=121，我们暂且可以认为=11，
因为，按照运算规则得到的=2 11，
所以得到= =2 2-=4，嗯嗯，结果很正确。是的，虽然在运算途中出现了，但在结果⾥它没有出现，⽽且我们得到了正确的结果。诸如类似这种负数开⽅在很多数学运算中都会出现，如果你允许它的存在，继续计算下去，它不但不影响结果的正确性，⽽且它有助于得到正确的结果，它已成为诸多数学运算得到正确结果的有效桥梁，说明它很科学，它的存在很有必要。
既然它是必要的，我们为什么就不承认它呢，好吧，我们就认为=，它是1个虚数单位，并且规定= -1,= 1,= -1，但是它实在不是我们现实世界中的所见即所得，所以就给它起了个名字“虚数”，纯粹虚构的数。
每次数域领地扩⼤的时候，都会冲击着某些⼈的灵魂， “虚数”这个名字本⾝就代表着最初的偏见。16
、17世纪欧洲⼤多数数学家都不承认负数是数，帕斯卡（法国数学家1623⾄1662）认为从0减去4是纯粹的胡扯，还有毕达哥拉斯学派把发现⽆理数的希伯索斯扔到海⾥⼀样，虚数的出现还是引起了数学界的⼀⽚困惑，当时很多⼤数学家都不承认虚数，莱布尼茨（德国数学家1646⾄1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微⽽奇异的隐避所，它⼤概是存在和虚妄两界中的两栖物”。1633年，笛卡尔（法国数学家1596⾄1650）正式给出了“虚数”的称谓，不过他并不承认虚数的存在。⽜顿也是如此，他认为虚数并不能够在他的物理世界中得到意义，所以拒不承认虚数的存在。欧拉（瑞⼠数学家1707⾄1783）在《代数指南》中说“所有如、、、之类的表达式，皆不可能，或者说为虚数……⽽在这类数中，我们可以真正地断⾔，它们既⾮零，⾮⼤于零，亦⾮⼩于零，这必然使它们成为虚幻的或不可能的”。
好吧，我们来正式地梳理⼀下“虚数“的成长史：
拉斐尔.邦贝利（意⼤利数学家1526⾄1572）在1572年发表的《代数学》中总结整理了卡当《⼤术》中的发现，提出负数的平⽅根很有可能是⼀种全新类型的数字，他称之为“复杂的数”，⽽且他还详细的介绍了“复杂的数”计算规则。
法国数学家笛卡尔1637年在其《⼏何学》中第⼀次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
棣莫弗（法国数学家1667⾄1754）在1722年发现了著名的和虚数运算有关的棣莫弗定理。
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达朗贝尔（法国数学家1717⾄1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进⾏运算，那么它的结果总是的形式（、都是实数）
江西省教育资源公共服务平台欧拉在1777年《微分公式》第⼀次使⽤符号来表⽰。
威塞尔（挪威测量学家1745⾄1818）在1797年试图给予这种虚数以直观的⼏何解释，然⽽没有得到学术界的重视。
阿尔冈（德国数学家1777⾄1855）在1806年公布了虚数的图象表⽰法。
即所有实数能⽤⼀条数轴表⽰，同样，虚数也能⽤⼀条数轴来表⽰，但是两个数轴是⽆关的，在数学的平⾯上，⽆关的维度最直观的表达就是正交，即把实轴和虚轴正交，横轴上取全部的实数的点，纵轴上取全部虚数的点，那么平⾯上的其他点，就是表⽰那个数既含有实也含有虚的，这下⽤⼀个平⾯就包含了所有的数系。
⾼斯在1831年，⽤实数组（，）代表复数，并建⽴了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数⼀样地“代数化”。也是他在1832年第⼀次提出了“复数”这个名词。⾼斯不仅把复数看作平⾯上的点，⽽且还看作是⼀种向量，并利⽤复数与向量之间⼀⼀对应的关系，阐述了复数的⼏何加法与乘法。
1831年⾼斯认为复数不够普及，次年他发表了⼀篇备忘录，奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的
努⼒，扫除了复数使⽤的最后顾忌，后者更是⾸位以复数研究著名。
⾄此，复数理论⽐较完整和系统地建⽴起来。
这个⼤厦就是复数体系，英⽂为complex number, complex就是复杂的、复合的意思，复数就是复合了实数和虚数的复杂数系，因此可以表⽰为，是实部，是虚部，和的⼤⼩分别是对实部和虚部⼤⼩的刻画，当为0时，那就是在实数域裸奔，当为0时，那就是在虚数域飞翔，所以有实轴和虚轴的平⾯也可以称为复平⾯，任何⼀个复数也可以表⽰为有序实数对，它们分别表⽰⼀个复数在实、虚两个维度的⼤⼩。
与纯粹的实数不同，在复数集合中有可能不存在⼤⼩关系，也就是说两个复数之间也许不能⽐较⼤⼩。任何量的⼤⼩⽐较都是在1个维度限定下进⾏的，当超越1个维度时，量的传统⼤⼩⽐较将毫⽆意义。回想我们最初的定义：数字是那些能够由⼩到⼤进⾏排列的符号，在这个意义上，复数确实不是数字。这并不意外，在它的定义平⾯上，它们还有⾃⼰的⽅向属性，这也使数变得越来越抽象了。但是，复数集合是强⼤的，它包含实数集合，因为只需要在复数中令虚数前⾯的系数为0就可以了。
复数的存在，保证了n次⽅程根的完备性，只要允许“真根”（正实根）、“假根”（负实根）和“虚根”（复数根）存在，n次⽅程将有n个根，⼀个⽅程解的数量与它的次数相同，这是”代数基本定理“。
欧拉和⾼斯⽤复数来解决代数和数论。
哈密顿（爱尔兰数学家1805⾄1865）⽤复数来研究物理，并根据复数发明四元数理论。
柯西和⾼斯设计了适⽤于复数的微积分，被证明⾮常强⼤。
王永庆的球童
法国数学家雅克.哈达玛说：“实数领域中两个事实之间的最短路径经由复数领域“
下⾯就是数的进化史，不断有新数被编进队伍，数也越来越抽象，但也越来越强⼤。
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