哪里有数，哪里就有美。——普罗克洛斯（Proclus）
一、背景
古典希腊人把计算技术叫logistica，而算术（arithmetica）则指数论。古典数学家蔑视计算技术，因它只谈商业贸易的实际计算。从泰勒斯到欧几里得的300年间，这门技术没什么进展。
古典希腊人的数字系统有几次演变。初期他们用一些特殊的符号和记号来表示数，并用一种算盘的之类的东西进行计算。大约公元前500年改用希腊数字系统。毕达哥拉斯学派是用石子来计算的，因“calculus计算”这个词的原意是石子。“abacus算盘”的希腊文原意是沙，这说明在引用算盘以前，他们是在沙地上画点记数的。然后不知为什么改成了完全用字母记数的爱奥尼亚制。这种记数制是亚历山大时期希腊数学里最通用的，可以在托勒密的《至大论》中看到。古代叙利亚人和以列人也用。
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阿基米德的《数沙》给出了写大数的一套方案，其重点不在于方案本身，而是发表了可以把数写得大到不受限制的思想。
对于用上述方式写出的整数的算术运算，同今天一样用竖式加减进退位。分数是用单位分数之和表示的，但中间没有加号。亚历山大的希腊天文学家采用巴比伦人的60进制分数，托勒密的说法是为了避免用普通分数所引起的麻烦。
亚历山大数学家把分数本身当作数来看待，并且随意用来运算。而古典时期数学家则只提到整数之比，不提整数的部分，而且只在比例中用到比。
古典希腊时期回避开平方的运算，而无理数根本没有地位。亚历山大时期从海伦开始就用迭代法求平方根的近似值。
二、算术和代数作为一门独立学科的发展
阿基米德、尼奥斯和托勒密用算术来计算几何量，用几何代数法来保证数的运算的逻辑基础，迈出了算术和代数独立发展的第一步。而海伦、尼科梅切斯和丢番图则把算术和代数问题本身作为问题来处理，既不依靠几何引出，也不用它来作逻辑依据。这使算术和代数真正发展成了一门独立学科。 1.海伦的工作
海伦用纯粹算术方法提出和解决代数问题。他没有采用特别的符号，而是用文字来陈述。例如：给定一正方形，知其面积与周长之和为896，求其一边。这相当于今天求方程x²+4x=896的根。海伦的做法是两边加4配成完全平方然后开方。他不进行证明而只描述如何运算，而这正是古代埃及人和巴比伦人提出问题和解决问题的方式。对于海伦而言，代数是算术的推广。
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海伦在《几何》一书中提到加一块面积、一个周长和一个直径，这些话的意思即加上它们的数值。同样，当他说用一个正方形乘一个正方形，意即求两个数值的乘积。
海伦在这方面的工作有时被人估计为希腊几何学衰落的开始。但更应该作为巴比伦和埃及数学在希腊人手里的一个改进。
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2.尼科梅切斯的工作
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从算术以一门独立学科重新出现这一角度来讲，尼科梅切斯（Nichomachus，约公元100年）的著作是更重要的。他撰写了包含两篇的《算术入门Introductio Arithmetica》一书。这是第一本篇幅颇为可观的完全脱离几何讲法的算术（意即数论）书。从历史意义上讲，它对于算术的重要性可以和欧几里得的《原本》对于几何的重要性相比。书中，数代表对象的数量而不再像欧几里得书中那样用线段来形象化。他只论述整数和整数的比。
尼科梅切斯使毕达哥拉斯的传统重新活跃起来。他认为在柏拉图所强调的四门学科（算术、几何、音乐和天文）中，算术是其它各科之母，没有算术别的学科就不能存在。而其它学科被取消，算术仍能存在。
《算术入门》的主要内容是早期毕达哥拉斯派在算术方面的工作，尼科梅切斯讲述了偶数、奇数、正方形数、矩形数和多角形数。他也论述了质数和复合数以及六面体数【形式为n² (n+1)的数】，此外又定义了别的许多种数。他给出了1到9的乘法表，和今日学习的九九表一模一样。
尼科梅切斯比毕达哥拉斯学派更能发现一般性的关系（虽然并未证明）。例如：第（n-1）个三角形数加上第n个k角形数会得出第n个k+1角形数；第（n-1）个三角形数加上第n个正方形数得出第n个五角形数。
再如：第n个三角形数，第n个正方形数，第n个五角形数等形成一个递进算术数列，其公差为第（n-1）个三角形数。
他发现：若奇数1、3、5、7、9、11、13、15、17......的第一数是1的立方，其后两数之和是2的立方，再往下三个数之和是3的立方......
尼科梅切斯给出四个完全数6、28、496、8128，并重复给出欧几里得关于完全数的公式。他把各种各样的比加以分类，并给他们起名，其中包括（m+1）：m，（2m+n）：（m+n）以及（mn+1）：n。这些比在音乐上很重要。
他也研究比例，并说这对“自然科学、音乐、球面三角和平面几何，尤其是对于研究古代数学家”非常必要。他给出好多类比例，其中有音乐比例
他又给出埃拉托斯特尼筛，这是较快得出质数的方法。先把3以后的奇数写下来，然后划掉3的倍数，其次去掉5的倍数，然后去掉7的倍数......剩下的数连同2就是质数。DASIC
尼科梅切斯用举例来说明和解释他提出的定理，不用演绎证明。
《算术入门》之所以有价值，是因为他对整数和整数之比的算术作了有系统、有条理、清楚而内容丰富的叙述，而且完全不依赖于几何。里面还收集了关于数的思辨方面的、美学上的、神秘性的道德性的臆说，但没有谈实际应用。《算术入门》在此后1000年间成为一本标准课本。自尼科梅切斯之后，算术而不是几何成为风行于亚历山大时期的学问。
用代数技巧解问题的书也问世了。有些问题正是公元前2000年巴比伦书本里或莱因德草片纸上所载的。自尼科梅切斯之后，人们拿那些导出方程的代数题作为一般消遣的难题。这种题目约有50到60个保留在10世纪的一本书里（Palatine Codex of Greek Epigrams）。这里面至少有30题被认为是梅特罗多鲁斯（Metrodorus，约公元500年）所提出的，但肯定以前就有：阿基米德牛问题，欧几里得提出的关于骡子和驴驮运粮食的问题，求桶里注满水所需时间的问题以及年龄问题。
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