1 试题A:
一、 用Doolittle 分解法，求解四元方程组⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛827952216101248810346
8214214321x x x x （15分） 解：A=LU=⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛6000
3200
224014
2
1
12140113
0012
0001………………7分
由LY=B ：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛8279522112
140113
0012
0001
4321y y y y 得⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24610214321y y y y ………4分 由UX=Y: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---246102160003200
2240
1421圣手书生
4321x x x x 得⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321x x x x ………..4分
二、 设n
R x ∈，证明：
x 的三种基本范数满足不等式
212
x n x x
≤≤ （15分）
证明：1.因为()2
2
22
12
212
1n n x x x x x x x +++≥+++= 所以12x x ≤ ……. 7分
2.又2
1
1212
12
122∑=-≤+++=n
i i n n x n x x x x x x
2 所以21x n x ≤……7分 综合1和2原命题成立。…..1分
三、 已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=989999100A ，求矩阵A 的条件数∞)(A cond （10分） 解：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=-1009999981
A
……….3分 ∞A ＝199………….3分
∞
-1
A ＝199…………3分
∞)(A cond ＝∞A ∞
-1A ＝39601………….1分
四、 对于方程组⎪⎪⎪⎭
男生恋爱后患接吻病
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--111211*********x x x 1) 给出方程组的雅科比迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分） 解：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-02/12/110
12/12/100111011102/10001000服务质量差距模型
2/1)(1U L D B …..4分
12
5
)(),45(2>=
+=-B B I ρλλλ ………………..4分 发散……………………….2分
2) 给出方程组的高斯－赛德尔迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）
3
解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---
-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--21002121
021210
000100110211011002)(11U L D B 12
1
)(,)21(2<=
+=-B B I ρλλλ ………………..4分 收敛…………………..2分
五、 已知4)2(,2)1(,1)0(===f f f ，求)(x f 的Lagrange 多项式，并求)2
3(f 的值。（15分） 解：)
2(1)
2)(1(0-⨯---=
x x l ………..3分
)
1(1)
2(1-⨯-=
x x l ………..3分
1
2)
1(2⨯-=
x x l ………..3分 ()15.05.02221100++=⨯+⨯+⨯=x x f l f l f l x L ………..3分
所以875.2)5.1(=L ………..3分
六、 用法方程组求方程组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32111121121x x 的最小二乘解。
（10分）
解：由y A Ax A T T =得：⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32111112111121111112121
x x …….5分
即⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛08322621x x ……3分
4
解出⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛414321x x …….2分 七、 使用欧拉方法计算初值问题⎩
⎨⎧=≤≤+='0)0(1
0,10022y x y x y 的解)(x y 在x=0.4时的近似值（取h=0.1，小数点后至少保留3位）（15分）
解：欧拉方法公式为：()k k k k y x hf y y ,1+=+ 又1.0=h ……… 3分 所以001.00)1.0(=⨯+=y ……… 3分
01.01.01.00)2.0(=⨯+=y (3)
分
黑龙江畜牧兽医杂志
015.0)01.004.0(1.001.0)3.0(=+⨯+=y (3)
分
02625.0)0225.009.0(1.0015.0)4.0(=+⨯+=y (3)
分
TEST B:
一、 用Doolittle 分解法求解四元方程组⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--1715111462
032125051
240114321x x x x （15分） 解：A=LU=⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--1120001440045304011171301150012
0001………………7分
5 二、 证明n R 上2l 向量范数的导出矩阵范数是n
n R ⨯ 上矩阵2范数2⋅ （15分）
三、 已知⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=15001510
151101000A ，求矩阵A 的范数∞A A 和1（10分） 解：由定义：1A ＝25 ……. 5分
∞A ＝10 ……. 5分
四、 对于方程组⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--101212120203321x x x 1) 给出方程组的雅科比迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）
解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
官林论坛
⎫
⎝
⎛
-
-=+=-021121
003200)(1U L D B …….4分 112
11)(),1211(2<=-
=-B B I ρλλλ ………………..4分
收敛……………………….2分
2) 给出方程组的高斯－赛德尔迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）魏雨琦
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