黄志强;郭妞萍;王希云
【摘 要】以差商代替导数进行迭代计算,提出一种适合求复数根的抛物牛顿割线法。该方法在复数域上,可求出实系数多项式的全部根。最后通过算例分析,表明本方法的收敛速度较牛顿迭代法、牛顿割线法要快,可计算性和适用性强,同时也证明了该方法的有效性。%A cut-chord Newton method fitting for iterative finding complex roots is presented.The curve cut line is used to replace the straight cut line for the iterative calculation.In the complex number field,this method can find all the roots for polynomials with real coefficients.Computations show that the convergence speed of the parabola cut-chord method is much greater than those of the simple iterative method and the Newton iterative method.The computability and applicability,as well as the superiority of the proposed method,were proved. 【期刊名称】《太原科技大学学报》
【年(卷),期】2011(032)006
【总页数】3页(P498-500)
【关键词】迭代法;抛物牛顿割线法;收敛期
【作 者】黄志强;郭妞萍;王希云
【作者单位】太原科技大学应用科学学院数学系,太原030024;西安财经学院统计学院,西安710061;太原科技大学应用科学学院数学系,太原030024
【正文语种】中 文
【中图分类】O243
求解非线性方程f(x)=0根x*的数值方法首推牛顿迭代法[1]，其思想是给定一个初始近似解，过该点作曲线的切线，若切线与x轴相交，新近似解可采用该交点的横坐标，依此类推，得到—个近似解序列{xk}.迭代格式为:xn+1=xn-f(xn)·[f'(xn)]-1，n=1，2，…，但牛顿迭代法的一个明显缺点是对每一个k都要计算f'(xk)，导数的计算往往十分麻烦，尤其当f'(xk)相对较小时，计算要很精确，否则会产生很大的舍入误差。因此，很多学者对它作了研究修改，
但是在含根区间内既要保持其收敛速度，又要在所考虑f'(xk)≠0这一苛刻条件，两者不可以兼得，所以可从另外的角度来考虑该问题。
冷冻机组在文献[2]中，给出了一种适合于迭代求复根的抛物牛顿法，这种新型迭代求解非线性方程的复数根方法，它在牛顿法失效时可替代使用。同时，对于实系数多项式，它可迭代出全部根，包括其实根和复根，其收敛程度也比牛顿法快。但是每迭代一次都需要求函数的二阶导数f″(xk)，如果函数在xk处的导数不存在，则此方法失效。本文针对抛物牛顿法存在的问题，将其进行了改进推广，用传统的割线代替切线思想，对抛物牛顿法进行修正，得到一种新方法——抛物牛顿割线法。它能有效克服上述这些方法的缺点，而且收敛速度比经典的牛顿迭代法快。
1 抛物牛顿割线法的构造
设f(x)=0是非线性方程，x=xk为f(x)=0的一个近似解，若f(x)在xk的某个领域内三阶可导，现将f(x)在点xk处用泰勒公式二阶展开，即
令
则当 x∈U(xk)，f(x)≈h(x)，令 h(x)=0
解方程得
以此作为f(x)=0的一个近似解，并构造抛物牛顿割线法迭代格式[2]如下:
抛物牛顿割线法构造思想为:假设f(x)在xk的某个领域内三阶可导，将f(x)在xk处用Taylor公式二阶展开，按照传统的割线法类似的思路，即用差商代替导数，提出一种新的迭代方法，迭代格式为
其中
式(3)中的 Ak，k-1，Bk，k-1采用双点割线法进行计算。
若采用单点割线法进行计算，则计算公式为:
ω的取值应使解xk+1比xk更接近解x*，为方便计算可取ω=±1.
上尉的曼陀铃定理1 设f(x)=0是非线性方程，s为f(x)=0的一个根，若f(x)在s的某个领域内三阶可导且f″(x)≠0，则存在 ε ＞ 0，当 x-1，x0∈Iε 时，则由式(2)产生的序列收敛于方程的根。
抛物牛顿割线法符号ω可正可负，它意味着近似的抛物线或近似方程在复数域上的两个解。已知牛顿切线法至少是二阶收敛的，抛物牛顿法是三阶收敛[2]的，所以抛物牛顿割线法的收敛速度应该在二者之间，而且迭代中不需要导数的计算，可计算性和适应性增强，后面的数值实验也验证了这个事实。
2 抛物牛顿割线法的几何解释
从几何上看，如果在迭代点所作的抛物线g(x)=与x轴相交，则抛物牛顿割线法是将曲线f(x)上过点p(xk，f(xk))的抛物线与x轴的交点来代替f(x)与x的交点，抛物线g(x)与f(x)在点p(xk，f(xk))相交且具有相同的凹凸性，从而将抛物线g(x)=0的解可作为f(x)=0的一个新的近似解。
3 数值实验
算例1 求的近似根，计算中要求精确到10-6.
马宗林解 易知在复数域内，5次的实多项式应恰有5个根。该曲线有3个实根和一对共轭复根，若用牛顿切线法，仅能求出其3个实根。采用抛物牛顿割线法计算如下:采用公式0，1，2，…
进行迭代，式中 Ai，j，Bi，j由式(4)进行计算，计算结果如表1和表2所示。
表1 抛物牛顿割线法取(ω=1，x0=-10)时与牛顿切线法和抛物牛顿法迭代比较迭代序数 牛顿切线法 迭代序数 抛物牛顿法 迭代序数 抛物牛顿割线法0-10 0 -10 0 -10，6 1-7.046 6 1 -7.217 1-2.087 3i 1 -7.142 9-2.078 3i 5-3.203 3 5 -3.010 6-0.006 1i 5 -3.274 1-0.012 7i 7-3.205 6 7 -3.0253 72 7 -3.4018 6 9-3.025 371-3.025 372 8
表2 抛物牛顿割线法取(ω=1，x0=0)时与牛顿切线法和抛物牛顿法迭代比较迭代序数 牛顿切线法 迭代序数 抛物牛顿法 迭代序数 抛物牛顿割线法0 0 0 0 0 0.2 1-53.199 8 1 0.666 7+2.134 4i 1 0.852 8+2.278 6i 5-20.848 0 2 0.288 5+1.851 5i 2 0.513 5+2.215 4i 10 -6.187 7 3 0.284 8+1.831 0i 3 0.354 8+1.970 1i 15 -3.028 1 4 0.284 8+1.831 0i 7 0.276 9+1.872 2i 18 -3.025 372 5 0.284 8+1.831 036i 11 0.284 6+1.831 053i
豪门保姆日记同理，取 ω =1，x0=8，x-1=10，经过 5 次迭代可获得方程的近似根9.375 676，牛顿迭代法需要5次，抛物牛顿法需要3次迭代。取ω=-1，x0=6，x-1=8，经过6次迭代可获得方程的近似根3.080 095，牛顿迭代法需要7次，抛物牛顿法需要4次迭代。由于实系数多项式的复根成对出现，所以方程的另一个复根为0.284 8-1.831 036i.
算例2 求方程x-lnx=2在(2，∞)的根，计算中要求精确到10-8.
解 采用式(2)-(3)进行迭代计算，计算结果列于表3，结果表明抛物牛顿割线法具有相当的收敛速度，且不受导数条件的限制。
表3 抛物牛顿割线法取ω=1时与牛顿切线法和牛顿割线法迭代比较迭代序数 牛顿切线法 迭代序数 抛物牛顿法 迭代序数 抛物牛顿割线法0 3.000 000 000 -1 2.000 000 000 -1 2.000 000 000 1 3.147 918 433 0 4.000 000 000 0 4.000 000 000 2 3.146 193 441 1 3.060 788 438 1 3.091 718 839 3 3.146 193 221 2 3.141 738 781 2 3.146 093 421 4 3.146 193 221 3 3.146 222 134 3 3.146 193 221 4 3.146 193 221 4 3.146 193 221 5 3.146 193 221
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议