数值逼近考试范围
数值逼近作业
作业：课本P25：16，17，19
1．序列满足递推关系。若,(3位有效数字)，计算到时误差有多大？计算过程稳定吗？（参考作业P25：19题）
解：由得误差满足
又知， 从而
又知
依此类推： ，...
最终
计算到时误差为，这个计算过程不稳定。
作业1：用拉格朗日和牛顿方法计算：课本P61：4，5
1． 当x=1,-1,2时f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
澳门的历史
2．给出f(x)=ln(x)数值表如下
用线性插值和二次插值计算ln(0.54)的近似值，并估计误差。
解：采用线性插值法计算即，则
基函数：
线性插值：
插值：
若采用二次插值法计算时，
二次插值：
插值：
误差：自己做一下。
3. 求次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足。
提示：方法有
1、方程组法，最简单。假设；代入条件得5个方程，求解 。
2、牛顿差商法，难度中等。建立差商表，注意导数应作为重节点处理。
3、拉格朗日方法，复杂，但看上去专业。
4. 给定数据(此题要求：掌握思路)
X | 0.25 | 0.30 | 0.39 | 0.45 qq空间被屏蔽了怎么办 | 0.53 |
y | 0.5000 | 0.5477 | 0.6245 | 0.6708 | 0.7280 |
| | | | | 血氧探头 |
求3次样条插值函数满足：
提示：
计算：
计算：
计算：
计算：
得方程组：，解得
将代入得课本P73（3.9）得：
作业3：逼近与拟合
1．选取参数a，使得达到最小。
解题思路：此题可以用最小零偏差定理做。注意：区间必须[-1,1]
令,因为在上为奇函数，所以(此时已经转到区间[-1,1]上了)
又的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。即，解得有。
2. 求f(x)=sinx在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。(此题练习)
类似题目：课本P103例1
3．求f(x)=|x|在[-1,1]上关于span{1,x2,x4}的最佳平方逼近多项式。
解：定义若，且，则
得法方程组为解得
故关于的最佳平方逼近多项式为
4. f(x)=sin(π/2)x在[-1,1]上按勒让德多项式展开求3 次最佳平方逼近多项式。
解：按勒让德多项式展开，先计算：
pku苯丙酮尿症再计算
从而的三次最佳平方逼近多项式为
t/秒 | 0 | 0.9 | 1.9 | 3.0 | 3.9 | 5.0 |
s/米 | 0 | 10 | 30 | 50 | 80 | 110 |
| | | | | | |
求运动方程。(注：线性拟合)
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
，令， 则
则法方程组为从而解得
故物体运动方程为
作业5 积分
1. 确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高。 解：参见课件。
2. 分别用T和S计算积分：；
解：
复化梯形公式为:
复化辛普森公式为:
(2) 同理计算，特别注意：三角函数要用弧度计算。
4. 辛普森公式计算积分，并估计误差。
解：=…
误差：
6. 若用复化梯形公式计算，问区间[0,1]等分多少才使得误差？
若用复化辛普森公式计算，问区间[0,1]等分多少才使得误差？
解：采用复化梯形公式：，若，则解得
，当对区间进行等分时，故有，因此，将区间213等分时可以满足误差要求。
采用复化辛普森公式：
解得，当对区间进行等分时故有，因此，将区间4等分时可以满足误差要求。
7 用Romberg公式计算积分
| T | S | C | R |
0 | 0.7717433 | | | 教养的芬芳 |
1 | 0.7280699 | 0.7135121 | | |
2 | 0.7169828 | 0.7132870 | 0.7132720 | |
3 | 0.7142002 | 0.7132726 | 0.7132717 | 0.7132717 |
| | | | |
因此
第7章作业
2、为求在1.5附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式: (1) ,迭代公式;
(2) ,迭代公式;
(3) ,迭代公式.
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.
解 取的邻域[1.3,1.6]来考察.
(1)当时,计算，在邻域[1.3,1.6]上的最大值M=…,最小值m=…,
再计算，在邻域[1.3,1.6]上的最大值M=…
有：
故迭代公式在[1.3,1.6]上整体收敛.
(2)当时
；
故在[1.3,1.6]上整体收敛.
(3)故发散.
由于(2)的L<1,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需
即
取计算结果见表
| | | |
1 2 3 | 1.481248034 1.472705730 1.468817314 | 4 5 6 | 1.467047973 1.466243010 1.465876820 |
| | | |
由于,故可取.
4、给定函数,设对一切x, 存在且,证明对于范围内的任意定数,迭代过程均收敛于=0的根.
证明 由于>0, 为单增函数,故方程=0的根是惟一的(假定方程有根)。
迭代函数：,.由及得,
-1<<1
故
由此可得收敛。.
7、用牛顿法求在附近的根。根的准确值,要求计算结果准确到四位有效数字.
解 取,用牛顿迭代法
计算得,故
振镜提高篇(以下题目中，与数值逼近无关的内容已经删除)
第一套参考试卷
试题一
一、填空题
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（ ）。
3、已知是三次样条函数，则
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