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摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。系数矩阵H为Hilbert矩阵，是著名的病态问题。因而决定求解此线性方程组来验证上述问题。 详细过程是通过用Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法四种方法求解线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法、SOR迭代法
目录：
一、问题背景介绍
二、建立正确额数学模型
三、求解模型的数学原理
1、Gauss消去法求解原理
2、Jacobi迭代法求解原理
3、G-S迭代法求解原理
4、SOR迭代法求解原理
5、Jacobi和G-S两种迭代法收敛的充要条件
四、计算过程
（一）Hilbert矩阵维数n=6时
1、Gauss消去法求解
2、Jacobi迭代法求解
3、G-S迭代法求解
4、SOR迭代法求解
（二）Hilbert矩阵维数n=20、50和100时
1、G-S迭代法求解图形
2、SOR迭代法求解图形
五、白岩松新书编写计算程序
六、解释计算结果
1、Gauss消去法误差分析
2、G-S迭代法误差分析
3、SOR迭代法误差分析
G-S迭代法与SOR迭代法的误差比较
七、心得体会
正文：
一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？
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二、建立正确的数学模型。
考虑方程组的求解，其中系数矩阵H为Hilbert矩阵，
这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（为方便计算，笔者取x的各个分量等于1），再计算出右端这样的解就明确了，再用Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法四种方法分别求解将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
三、求解模型的数学原理。
1、Gauss消去法求解原理
对于（A非奇异）求解时，可以先将A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即，就可以通过
求解出的值。
接下来就具体讲讲如何将A分解成L和U，也就是Gauss消去法。
欲把一个给定的矩阵A分解为一个下三角阵L与一个上三角阵U的乘积，最自然的做法便是通过一系列的初等变换，逐步将A约化为一个上三角阵，而又能保证这些变换的乘积是一个下三角阵。这可归结为：对于一个任意给定的向量一个尽可能简单的下三角阵，使经这一矩阵作用之后的第至第个分量均为零。能够完成这一任务的最简单的下三角阵便是如下形式的初等下三角阵：
其中
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即
这种类型的初等下三角阵称作Gauss变换，而称向量为Gauss向量。
对于一个给定的向量我们有
由此立即可知，只要取
便有
当然，这里我们要求
而后经过多次变换可以得到如何推动社会主义文化大发展大繁荣
从而求出上三角阵U，而后通过
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求得下三角阵
将(1.2)和(1.3)带入到(1.1)式中求出的值即可。
质量政策2、J迭代法求解原理
考虑非奇异线性代数方程组
令
其中
那么(1.4)式和合并后可以写成
其中
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