[收稿日期]2020-02-09; [修改日期]2020-03-04
[基金项目]高等学校大学数学教学研究与发展中心项目(C M C 20190319)；长安大学2019年度高等教育教学改革研 究项目(201944) [作者简介]柳顺义(1982-)，男，博士，副教授，从事图论及其应用研究.E m a i l :l i u @c h d .e d u .c n
第37卷第1期大 学 数 学V o l .37,ɴ.12021年2月C O L L E G E MA T H E MA T I C S F e b .2021
关于一道研究生入学考试线性代数题的探讨
柳顺义, 张 萌, 刘 佳
(长安大学理学院，西安710064
) [摘 要]从2020年全国硕士研究生入学考试的一道线性代数题的解法出发,
考虑了一个更一般的关于矩阵特征多项式的问题，并对该问题给出了回答.[关键词]线性代数；特征多项式；特征值；特征向量[中图分类号]O 151.2 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2021)01-0088-04
1 引 言
关于一些数学题目的探讨是大学数学教学研究的重要组成部分，参看文献[1-4].本文对2020年全国硕士研究生入学考试数学(一)的第21题做了探究,
此题表述如下：设A 为2阶矩阵,P =(α,A α)，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.(i )证明P 为可逆矩阵;(i i )若A 2α+A α-6α=0，求P -1A P ，并判断A 是否相似于对角矩阵.该题的参考解法如下 (i )要证P 为可逆矩阵，只需证明α与A α线性无关.用反证法.若α与A α线性相关，则存在数k ,l ，使得A α=k α或者α=l A α.显然第一个等式不成立,
否则与α不是A 的特征向量相矛盾.若第二个等式成立，由于α是非零向量，所以l ʂ0，进而A α=1l
α，这显然也与α不是A 的特征向量相矛盾.由此可见,α与A α线性无关,
从而P 为可逆矩阵.(i i )由已知，有A P =A (α,A α)=(A α,A 2α)=(A α,-A α+6α)=(α,A α)061-1 =P 061-1 .(1)由(i )知P 为可逆矩阵，对式(1)两边左乘P -1，可得P -1A P =
061-1 .(2)由式(2)看到矩阵A 与2阶方阵061-1 相似.经计算,
λ-6
-1λ+1=(λ+3)(λ-2).由于相似矩阵有相同的特征多项式，故A 的特征值为2,-3.因为2阶方阵A 有两个不同的特征值，故A 可对角化，且A 相似于对角矩阵200-3 .学生对该题的解答情况一般，主要问题出现在第(i i )问.参考上面的解题过程，本题一般计算A 的
特征值的方法是在计算出P -1A P 后利用相似矩阵有相同的特征值再来确定A 的特征值.有些学生并
没有正确计算出P -1A P ，而在计算A 的特征值时，直接由已知条件A 2α+A α-6α=0形式地写出表达
式λ2+λ-6，然后直接得出2,-3为A 的特征值的结论.如果只看结果,2,-3的确为A 的特征值，但这是一个恰好吻合的个例，还是一般的结论，是值得进一步探讨的问题.也就是说，在α是非零向量且
不是A 的特征向量的条件之下，能否由A 2α+A α-6α=0直接得到λ2+λ-6为A 的特征多项式的
广东药学院学报结论?
针对上述疑问，本文考虑了如下更一般的问题:
问题1 设A 是一个n 阶方阵,f (
成吉思汗论坛x )是一个首项系数为1的n 次多项式,α是非零向量且不是A 的特征向量.若f (A )α=0,A 的特征多项式是否恰为f (x )?2 对问题1的回答
在本节对问题1给出回答，分n =2和n ȡ3两种情形来进行讨论.
2.1 n =2的情形引理1[5] 设A 是一个n 阶方阵,f (x ),g (
x )是两个关于x 的多项式，则f (A )g (A )=g (A )f (A ).定理1 设A 是2阶复方阵,f (x )是复数域上的一个首项系数为1的二次多项式,α是二维非零复向量且不是A 的特征向量.若f (A )α=0，则矩阵A 的特征多项式f A (λ)=λE -A 恰为f (λ)，这里E 表示单位矩阵.
证 由代数基本定理[6],f (x )在复数域上有两个根，记为λ1,λ2，所以f (x )=(x -λ1)(x -λ2).由f (A )α=0，则(A -λ1E )(A -λ2E )α=0.(3)注意到αʂ0，所以齐次线性方程组(A -λ1E )(A -λ2E )x =0有非零解，从而系数行列式(A -λ1E )(A -λ2E )=0，进而有A -λ1E =0或者A -λ2E =0.若A -λ1E =0，则λ1为矩阵A 的一个特征值.此时A -λ2E 一定等于0.否则，若A -λ2E ʂ0，即矩阵A -λ2E 可逆，由式(3)及引理1，可得(A -λ2E )(A -λ1E )α=0，对上式两边左乘A -λ2E -1，可得(A -λ1E )α=0，此即A α=λ1α，这与α不是A 的特征向量相矛盾.故A -λ2E =0，这表明λ2也为矩阵A 的一个特征值.
同理可证，当A -λ2E =0时一定也有A -λ1E =0.由此可见,λ1,λ2为2阶方阵A 的两个特征值.从而A 的特征多项式为f
A (λ)=λE -A =(λ-λ1)(λ-λ2)=f (λ).由定理1，看到当n =2时对问题1的回答是肯定的.
2.2 n ȡ3的情形
容易看到，问题1等价于多项式f (x )
的n 个根是否恰好为方阵A 的n 个特征值.由定理1，当n =2时，二次多项式f (x )的两个根恰好为2阶方阵A 的两个特征值.但当n ȡ3时，只能保证f (x )至少有两个根为A 的特征值.命题1 设A 是n 阶复方阵,f (
x )是复数域上的一个首项系数为1的n 次多项式,α是n 维非零复向量且不是A 的特征向量.若f (A )α=0，则f (x )至少有两个根为A 的特征值(重根按重数计算).证 由代数基本定理,f (x )在复数域上有n 个根，记为λ1,λ2, ,λn ，所以f (x )=(x -λ1)(x -λ2) (x -λn ).由f (A )α=0，则(A -λ1E )(A -λ2E ) (A -λn E )α=0.(4
)注意到αʂ0，所以齐次线性方程组(A -λ1E )(A -λ2E ) (A -λn E )x =0有非零解，从而98第1期 柳顺义，等：关于一道研究生入学考试线性代数题的探讨
(A -λ1E )(A -λ2E ) (A -λn E )=0，进而存在某个i (1ɤi ɤn )，使得A -λi E =0.由引理1，可不妨假设A -λ1E =0，即λ1为矩阵A 的
一个特征值.下面证明当A -λ1E =0时至少还存在某个j (2ɤj ɤn )，使得A -λj E =0.用反证法.若对∀k ,k =2,3, ,n ，都有A -λk E ʂ0，即矩阵A -λk E 2ɤk ɤn 可逆，则由式(4)及引理1，可得(A -λ2E ) (A -λn E )(A -λ1
E )α=0，对上式两边左乘A -λn E -1 A -λ2E -1，利用矩阵乘法结合律可得(A -λ1E )α=0，此即A α=λ1
α，这与α不是A 的特征向量相矛盾.
由此可见,λ1和λj 为矩阵A 的两个特征值.由命题1，证明了f (x )至少有两个根为A 的特征值，至于f (x )的其他根是不是A 的特征值将不能确定.实际上，当n ȡ3时，在一般情况下对问题1的回答是否定的.特别地，对于每个自然数n ȡ3，可以给出问题1不一定成立的例子.
例1 设A =122 2212 2221 2︙︙︙⋱︙222 1 是一个n (ȡ3)阶方阵,f (x )=(x -2n +1)(x +1)x n -2是一个n 次多项式,α=(1,0,0, ,0)T 是一个n 维向量.分析 首先，显然α=(1,0,0, ,0)T 是非零向量；其次A α=(1,2,2, ,2)T ʂk α (∀k )，因此α不是A 的特征向量；再次，容易验证A -(2n -1)E A +E
=O ，所以f (A )α=(A -(2n -1)E )(A +E )A n -2α=0.由此可见，该例满足问题1的所有条件.下面考查问题1的结论是否成立，即f (λ)是否为A 的特征多项式.
经简单计算，矩阵A 的特征多项式为f A (λ)=λE -A =λ-1
-2-2 -2-2λ-1-2 -2-2-2λ-1 -2︙
成都信息工程学院学报︙︙⋱︙-2-2-2 λ-1=(λ-2n +1)1-2-2 -21λ-1-2 -21-2λ-1 -2︙︙︙⋱︙1-2-2 λ-1=(λ-2n +1)1
-2-2 -20λ+10 0
00λ+1 0︙︙︙⋱︙000 λ+1=(λ-2n +1)(λ+1)n -1.
显然f A (
λ)与f (λ)=(λ-2n +1)(λ+1)λn -2并不相等.此例表明当n ȡ3时对问题1的回答是否定的.注 对问题1的回答是否定的，并不是说问题1在任何时候都不成立.例如，将例1中的f (x )替换成多项式g (x )=(x -2n +1)(x +1
)n -1，其他仍取例1中的矩阵A 和向量α，可以验证此时问题1的所有条件都满足，并且A 的特征多项式f A (λ)恰好等于g (λ).09大 学 数 学 第37卷
referencemanager3 结 论
本文从2020年全国硕士研究生入学考试数学(
一)的一道线性代数题的普遍解法入手，考虑了一个更为一般的关于矩阵特征多项式的问题(见问题1).经分析讨论,
得到结论，当n =2时对问题1的回答是肯定的；当n ȡ3时，对问题1的回答是否定的，并给出了反例.
蛋白水解酶致谢 作者感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.
[参 考 文 献]
[1] 王转德，高中喜，李厚彪.一道全国大学生数学竞赛试题的探讨与推广[J ].大学数学,2019,35(5):122-126.[2] 唐烁，蒋哲远.一道全国大学生数学竞赛题的推广[J ].大学数学,2019,35(4):54-57.[3] 黄山林.一道高等代数考研试题的探讨[J ].大学数学,2019,35(3):121-123.
[4] 杨威.一道研究生入学考试数学试题的探讨[J ].大学数学,2019,35(4):75-78.
[5] 同济大学数学系.线性代数[M ].6版.北京：高等教育出版社,2014:43.[6] 北京大学数学系前代数小组.高等代数[M ].王萼芳，石生明，修订.4版.北京：高等教育出版社,2013:27.D i s c u s s i o no nO n eL i n e a rA l g e b r aP r o b l e mf o r t h e P o s t g胡人半解弹琵琶
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,X i a n710064,C h i n a )A b s t r a c t :W e c o n s i d e r am o r e g e n e r a l q u e s t i o na b o u t t h ec h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f am a t r i x ,w h i c h i so r i g i n a t e d f r o mt h e s o l u t i o no f a l i n e a r a l g e b r a p r o b l e mi n t h e n a t i o n a l p o s t g r a d u a t e e n t r a n c
e e x a m i n a t i o n i n 2020,a n d t h e a n s w e r o f t h i s q u e s t i o n i s g i v e n .K e y w o r d s :l i n e a r a l g e b r a ;c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l ;e i g e n v a l u e ;e i g e n v e c t o r 19第1期 柳顺义，等：关于一道研究生入学考试线性代数题的探讨
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