在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型，控制系统的数学模型是描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的数学方程叫静态数学模型；在动态过程中，描述各变量之间关系的微分方程叫动态数学模型。 由于微分方程中各变量的导数表示了它们随时间变化的特性，如一阶导数表示速度，二阶导数表示加速度等，因此微分方程完全可以描述系统的动态特性。
如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。
建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程，例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施
加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辩识。近几年来，系统辩识已发展成一门独立的学科分支，本章重点研究用分析法建立系统数学模型的方法。
在自动控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立和应用，其余几种数学模型将在以后各章中予详述。
§2-1 微分方程
微分方程是自动控制系统数学模型的基本形式，传递函数、结构图，都可由它演化而来。用分析法列写系统或元件的微分方程的一般步骤是：
1)根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；
2)分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；
3)消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。
下面举例说明，建立微分方程的步骤和方法：
例2-1 列写图2-1余姚市舜水中学所示的串联电路的微分方程。
解：(1)确定电路的输入量和输出量。
为输入量，输出量。
(2)依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程。 图2-1 RLC无源网络
设回路电流为，依基尔霍夫定律，则有
（2-1）空战机动
（2-2）
(3)消去中间变量，得到与关系的微分方程。
我们看出，要得到输入、输出关系的微分方程，得消去中间变量，由式（2-2）得，代入式（2-1），经整理后可得输入输出关系为：
（2-3）
这是一个线性常系数二阶微分方程，它就是图2-1电路的数学模型。
例2-2 设有一个弹簧-物体-伊通进修网站阻尼器组成的机械系统。其原理图如图2-2所示。试列出系统输入、输出关系的微分方程。其中，是弹簧的弹性系数，是物体的质量，是阻尼器粘性摩擦系数。
解：（1）确定输入、输出量
外力作用为输入量，物体的位移为输出量。
（2）写出原始的微分方程
在机械平移系统中，应遵循牛顿第二定律，即
（2-4）
式中：为物体运动的加速度，；
为所有作用于物体上作用力的总和。
根据对物体的受力分析得：
图 2-2 弹簧-物体-阻尼器机械系统
其中：为阻尼器的粘性摩擦力。它和物体的移动的速度成正比，即
为弹簧的弹力，它与物体的位移成正比 ，即
将以上各式代入（2-4）两端得：
整理后得： （2-5）
这也是一个线性常系数二阶微分方程。与上例相比，前面的一例是电的系统，后面的一例是机械位移系统，两个不相同的物理系统，却具有相同形式的微分方程，即有相同形式的数学模型。由于微分方程是描述系统动态特性的方程，只要运动特性一样，则其数学模型完全一样，即数学模型与系统不是一一对应的。我们把具有相同数学模型的不同系统称之为相似系统，对应相同位置的物理量称为相似量。图2-1和图2-2所示的两个系统是相似系统，式（2-3）中的变量及参数与式（2-5）中的变量及参数是对应的相似量。 数学模型对系统的研究提供了有效的数学工具。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系，利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统。根据相似系统的理论出现了仿真研究法。
例2-3 求图2-3所示有源网络的微分方程。
解：（1）确定输入量与输出量
输入量为，输出量为。
（2）列原始微分方程
放大器工作时（称B点为虚地），故
根据电流定律有 图2-3 有源网络
支撑架设计整理后得：
（2-6）
微分方程为一阶线性常系数微分方程。
例2-4 列写图2-4所示他励直流电动机在电枢控制情况下的微分方程。
解：（1）确定输入量与输出量
输入量为，输出量为电动机转速。
(2)节日圆舞曲列原始微分方程
电机电枢回路的电压平衡方程式为：
复合材料学报（2-7）
式中：为电枢回路的电感（亨）和电阻（欧姆）。 图2-4 直流电动机电枢回路
反电势为：
(2-8)
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