1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。
(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。 (2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。
(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。
4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。
(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。
(6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。
(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。
2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。 设生产速率为常数，销售速率为常数，。
在每个生产周期内，开始一段时间（）
边生产边销售，后一段时间（）只销售不
生产，存贮量的变化如图所示。设每次生产开工
费为，每件产品单位时间的存贮费为，以总费用最小为准则确定最优周期，并讨论和的情况。
单位时间总费用，使达到最小的最优周期。当时，，相当于不考虑生产的情况；当中国长江航运集团金陵船厂时，，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。
3．（10分）设表示时刻的人口，试解释阻滞增长（Logistic）模型 中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。
——时刻；
——时刻的人口数量；
——人口的固有增长率；
——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
——初始时刻的人口数量
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。
且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率是人口数量的的减函数。
假设为的线性函数：
，
其中，称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。
当时人口不再增长，即增长率，代入有，从而有
，
根据Malthus人口模型，有
4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示），
每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．
（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？
(1)到其它各点的最短路如下图：
各点的父点如下：
v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3
各点的最短路径及最短路长分别为：
v0: 0
v0→v1: 1
垫江教委v0→v2: 2
v0→v2→v3: 3
v0→v2→v3→v4: 6
v0→v5: 4
v0→v5→v6: 6
v0→v2→→v3→v7: 9
石家庄滹沱河
15、为了便于辨认，人们把看起来不动的星星分成，划分成不同的区域，根据其形态想象成人、动物或其他物体的形状，并且给它们命名。天空中这些被人们分成的许多区域就称为星座。(2)最小生成树如下图：
答：如水资源缺乏，全球气候变暖，生物品种咖快灭绝，地球臭氧层受到破坏，土地荒漠化等世界性的环境问题。
7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，出这个苹果，并说明它的轻重情况。
答：最有效的方法就是集焚烧、堆肥、热解、制砖、发电等一体的统合系统，但是焚烧垃圾对空气有污染。先把苹果编号1～12,把1～4和5～8放在天平两边: （1）两边持平：就在9～12中,再把9和10放在天平两边,再平就在11或12中,若9和10不平，则在9或10中；
（2）两边不平:假设1234重5678轻,则进行第二次称量125和349；若平了就在678中且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的, 再称1与2即可；若125轻349重,则坏的是5甲氨基阿维菌素。
5新刑事诉讼法、减少垃圾的数量是从源头上解决问题的办法，我们每个人都可以想出许多减少垃圾数量的方法。
14、在太阳周围的八颗大行星，它们是水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。
某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/铬酸盐钝化个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’)
二、问答： 解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量
（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大 max z=50x1+30x2
答：优点：占地小，避免了垃圾污染地下水，产生的热量还可以用来发电。（3）确定约束条件：
7、我们每个人应该怎样保护身边的环境？4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制）
（4）建立的数学模型为：
19、夏季是观察星座的好季节，天空中有许多亮星，其中人们称之为“夏季大三角”的是天津四、织女星和牛郎星。它们分别属于天鹅座、天琴座、天鹰座。max S=50x1+30x2
s.t. 4x1+3x2<120
2、物质变化有快有慢，有些变化只改变了物质的形态、形状、大小，没有产生新的不同于原来的物质，我们把这类变化称为物理变化；有些变化产生了新的物质，我们把有新物质生成的变化称为化学变化。 2x1+ x2>50
x1, x2 >0
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