图论练习题
一、基本题
1、设G是由5个顶点构成的完全图，则从G中删去（ ）边可以得到树。 A．6 B．5 C．8 D．4
2、下面哪几种图不一定是树（ ）。
A．无回路的连通图
C．对每对结点间都有通路的图
D．连通但删去任意一条边则不连通的图。
3、5阶无向完全图的边数为（ ）。
A．5 B．10 C．15 D．20
4、把平面分成x个区域，每两个区域都相邻，问x最大为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．3
5、设图G有n个结点，m条边，且G中每个结点的度数不是k，就是k+1，则G中度数为k的节点数是（ ） A．n/2 B．n(n+1) C．nk-2m D．n(k+1)-2m
6、设G=<V，E>为有向图，则有（ ）。
A．EV x V B．EV x V C．V x VE D．V x V=E
7、图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的（ ）。
A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8、设G=<V，E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}，E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是（ ）。
A．强连通图 B．单向连通图 C．弱连通图 D．不连通图
9、无向图G中的边e是G的割边（桥）的充分必要条件是（）。
A．e是重边 B．e不是重边
C．e不包含在G的任一简单回路中 D．e不包含在G的某一简单回路中
10、在有n个结点的连通图中，其边数（ ）
A．最多有n-1条 B．至少有n-1条 C．最多有n条 D．至少有n条
11．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有（ ）条边。
A．n-1 B．n(n-1)/2 C． n(n+1)/2 D．n2
12．要连通具有n个顶点的有向图，至少需要（ ）条边。
A．n-l B．n C．n+l D．2n
13．n个结点的完全有向图含有边的数目（ ）。
A．n*n Ｂ．n（n＋１） C．n／2 D．n*（n－l）
14．一个有n汉译英个结点的图，最少有（ ）个连通分量。
A．0 B．1 C．n-1 D．n
15．一个有n个结点的图，最多有（ ）个连通分量。
A．0 B．1 C．n-1 D．n
16．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（ ）倍。
A．1/2 B．2 C．1 D．4
17．在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（ ）倍。
A．1/2 B．2 C．1 D．4
18、连通图G是一棵树，当且仅当G中（ ）
A．有些边不是割边 B．所有边都是割边
C．无割边集 D．每条边都不是割边
19．4个顶点的完全图G，其生成树个数是（ ）。
A．4 B．8 C．16 D．64
20、设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需有5插头的接线板数（ ）。
A．7 B．8 C．9 D．14
二、应用题
题1：（1996年全国数学联赛）
有n（n6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。证明这nmrpk个人中必有3个人互相认识。注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。
题2：已知图的结点集V={a,b,c,d}以及图G和图D的边集合分别为：
E(G)={(a,a), (a,b), (b,c), (a,c)}
E(D)={<a,b>, <a,c>, <c,d>, <c,a>, <c,b>}
试作图G和图D，写出各结点的度数，回答图G、图D是简单图还是多重图？
题3：设简单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．
题4：porand设简单连通无向图G有9条边，G中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G中有多少个结点．
题5：两个图同构有下列必要条件：
（1） 结点数相同；
（2） 边数相同；
（3） 度数相同的结点数相同.
但它们不是两个图同构的充分条件，下图中(a)和(b)满足上述三个条件，但这两个图并不同构，请说明理由。 题6：三名商人各带一随从乘船过河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一案，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样安排每次乘船方案才能安全渡河？
题7 在平面上有n个点S＝{x1,x2,……,xn}，其中任两个点之间的距离至少是1，证明在这n个点中距离为1的点对数不超过3n。
题8 n个点由若干线段连接着。已知每一点与另外任何一点都有道路相连通。而任何两点都没有两种不同的道路。证明：线段总数为n-1。
题9：设无向图G有12条边，已知G中度数为3的节点个数为6个，其余结点的度数均小于3，问G中至少有多少边？
题10：若图G是不连通的，则G的补图是连通的。
题11：当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中，e才是G的割边（桥）。
题12：n个城市由k条公路网络连接（一条公路定义为两个城市间的一条道路，它们之间不能通过任何中间城市），证明：如果有
k> (n-1)(n-2)
则人们总能通过连接城市的公路在任何城市间旅行。
题13：判断下图是否能一笔画出，并说明理由。
图（a） 图（b）
题14：构造一个欧拉图，其结点数n与边数m满足下列条件
（1）、n，m的奇偶性一样的简单图。
（2）、n，m的奇偶性相反的简单图。
如果不可能，请说明原因。
题15：设G是一个具有n个结点的简单无向图，n3，设G的结点表示n个人，G的边表示他们间的友好关系，若两个结点杯一条边连接，当且仅当对应的人是朋友。
（1）、结点的度数能做怎样的解释？
（2）、G是连通图能做怎样的解释？
（3）、假定任意两个人合起来认识所留下的n-2个人，证明n个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，而两端的两个人，他们每个人旁边只站着他的一个朋友。
（4）、证明对于n4，（3）中保证n个人能站成一圈，使每个人的两旁站着自己的朋友。
题16：设G是有11个或更多结点的图，证明G或（补图）是非平面图。
题17：一棵树有n2个结点度数为2，n3个结点度数为3，…，nk个结点度数为k，问它有几个度数为1的结点。
题18：证明在完全二叉树中，边的总数m等于2(nt-1)，nt是树叶总数。
题19：给设d=（d1,d2,…,dn），其中di为正数，i=1,2, …,n。若存在n个结点的简单图，使得结点vi国务院关于促进节约集约用地的通知的度数为di，则称d是可图解的。下面给出的各序列中哪些是可图解的，哪些不是，为什么？
（1）、（1，1，1，2，3） （2）、（0，1，1，2，3，3） （3）、（3，3，3，3）
（4）、（2，3，3，4，4，5） （5）、（2，3，4，4，5） （6）、（2，3，3，3）
（7）、（2，3，3，4，5，6） （8）、（1，3，3，4，5，6，6） （9）、（2，2，4）
（10）、（1，2，2，3，4，5）
题20：给无向完全图Kn（n≥7）的各边随意涂上红或绿，若已知从某个结点v0引出的n-1条边中至少有六条边涂红，则存在红的K4或绿的K3。
题21：证明：在任何两个或两个以上人的组内，存在两个人在组内有相同个数的朋友。
题22、设G为n个结点的简单无向图。
（1）、若G的边数m=(1/2)(n-1)(n-2)+2，证明G是哈密尔顿图。
（2）、若G的边数m=(1/2)(n-1)(n-2)+1，那么图G是否一定为哈密尔顿图？请阐述你的理由。
题23、把平面分成x个区域，每两个区域都相邻，问x最大为几？
题24、设图G有n个结点，m条边，其中有nk个结点的度数为k，其余结点的度数均为k+1，试证明：nk=(k+1)n-2m。
题25、用Kruskal算法求下图的的最小生成树，并计算其权。 题26、求出下图中以v1为起点的一条中国邮路。
题27、利用Dijkstra算法，求解下图中从顶点1到其余各点的最短路径
题28、求下面PERT图的关键路径。
题29、利用Huffman算法，求权为20,30,50,70,80的最优二叉树T，并求出其W(T)。
W(T)=550。
反论文
题30：给定权1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，利用Huffman算法构造一棵最优二叉树，并求出其W(T)。
题31、用Dinic算法求下图最大流。
题32、用2F标号算法求下图的最大流。
题33、用匈牙利算法求下图的最大匹配。
题34汉末三国、对下图顶点进行着。
题35：、利用Dijkstra算法，求下图从1出发到其余各点的最短路径。
题36、现有4名教师：张、王、李、赵，要求他们去教四门课程：数学、物理、电工和计算机科学。已知张老师能教数学和计算机科学，王老师能教物理和电工，李老师能教数学、物理和电工，而赵老师只能教电工。如何安排才能使4位教师都能教课，并且每门课都有人教，共有几种方案？
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