授课章节 | 1.6 的同构与同态 | 任课教师 及职称 | xx教授 |
教学方法 与手段 | 讲授法、板书 | 课时安排 | 4 |
模型仿真使用教材和 主要参考书 | 97gab 《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4 《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5 | ||
教学目的与要求： 掌握的同构定理和同态定理 | |||
教学重点，难点： Cayley定理；的同态基本定理 | |||
教学内容： 1.6的同构与同态 1、定义1 设和是两个，f是G到上的一个一一对应，如果对都有 ，则称f是G到的一个同构。 2、定理1 （Cayley定理）任意一个都与一个变换同构 3、推论1 任意一个有限都与一个置换同构 证明：由定理1 ，若G是有限，，则与G同构的变换是一个由n个元素构成的集合上的变换，因而它是的一个子，所以G与的一个子同构。 4、定义2 设和是两个，f是集合G到的一个映射，如果对都有 crj-200 ，则称f是G到的一个同态。 5、命题1 f是G到的一个同态，e和石油地球物理勘探分别是G和的单位元，则 （1） （2）对有。 6、 命题2 f是G到的一个同态，则 （1）Ker（f）是G的正规子 （2）Im（f）是的子。 7、定理2 f是G到的一个同态，则 （1）如果H是G的子，则f（H）是的子 （2）如果是的子，则是G的子；如果是的正规子，则也是G的正规子。 8、定理3 设f是G到的一个满同态，如果H是G的正规子，则f（H）是的正规子。 9、定理4 （的同态基本定理）设f是G到的一个满同态，则 证明：令 由于，若则，于是，而，所以，因而的定义是合理的，显然是满射。 | |||
教学内容： 对若 则，于是 ，因而，故，所以是单射，从而是双射， 又由于，对有 所以是到的一个同构，因而。 10、 定理5 设G是循环，如果G的阶无限，则；如果G的阶为n，则。 由同态基本定理，我们可以得到两个重要的同构花腔女高音 11、 定理6 设G是一个，N是G的正规子， （1）若H是G的子，则 （2）若H是G的正规子且，则 证明：（1）易知HN是G的子，又由于N是G的正规子，自然有N也是HN的正规子，因而有商。令 则f是一个同态。易知f是满同态，又，由同态基本定理有。 （2）令，若aN=bN，则，而，所以，即，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且，所以有同态基本定理， | |||
复习思考题、作业题： 课本P28 1、4、6、9、10 |
下次课预习要点 有限 |
实施情况及教学效果分析 |
学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日 |
本文发布于:2024-09-21 04:29:21，感谢您对本站的认可！
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