学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： 地统计学再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中0 x >）
再结合常用的切线不等式lnx ≤x-1，ln ,e 1,e e e 利比亚战争x x
x x x x ≤≥+≥等，可以得到更多
的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
、同构基础：切线不等式
一
1.下面我对其原式“加减乘除”并进行推广：
※如果我把原式x 替换成了a x +则又变成了：1
++≥+a x e a x 切点：a
x -=※如果我把原式x 替换成了用x x ln +则又变成了：
1ln ++≥x x xe x ，切点：568
.00ln 0=⇒=+x x x ※如果我把原式x 替换成了1-x 则又变成了：x e x ≥-1．
切点：1=x ，又可表示为：ex e x ≥）
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2.下面我对其原式“丢1换x ”并进行推广：
二、同构基础：两个推广
3.常见函数的切点构造
（二）对数Inx
-1切线的放缩的推广
x≥
1.下面我对其原式“加减乘除”并进行推广：
2.对均不等式的两种证明与几个重要的不等式链
只证：当a b ≠时，(,)2
a b
ab L a b +<<.不失一般性，可设a b >.证明如下：
（I）先证：(,)ab L a b <……①（II）不等式①1ln ln ln 2ln (1)
a b a a b a
a b x x x b b a x b ab
-⇔-<
⇔<-⇔<-=>其中构造函数1
()2ln (),(1)f x x x x x
=-->，则22211
()1(1)f x x x x
'=
--=--.因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立；（II）再证：(,)2 a b
L a b +<
……②不等式②2(1)
2()2(1)
ln ln ln ln (1)(1)(1)a a b a x a b a b x x a a b b x b
b ---⇔->红杏枝头春意浓txt
⇔>⇔>=>+++其中构造函数2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则2
22
14(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++.因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g <=，从而不等式②成立；
综合（I）（II）知，对,a b R +∀∈，都有对数平均不等式(,)2
a b
ab L a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立.
3．定义：设b a b a ≠>>,0,0，则
ab b
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a b
a b a >-->+ln ln 2，其中
b a b a ln ln --为对数平均数。
4．重要不等式链的证明①0(1
)
1(2ln )1(2
1
∈+-<<-x x x x x
x ，，)1；②
)1[)1
(21ln 1)1(2∞+∈-≤≤+-，，x x
x x x x ．
证明：构造函数)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1(21211)(2
2
2≤--=--='x
x x x x f ，而0)1(=f ，故当10<<x 时，)1(21ln x x x －>；当1≥x 时)1
(21ln x x x －≤．
构造函数1
)
1(2ln )(+--=x x x x g ，则0)1()1()1(41)(222≥+-=+-
='x x x x x x g ，而0)1(=f ，故当10<<x 时，1
)1(2ln +<x x x －；当1≥x 时，1
)
1(2ln +≥x x x －（证明对数平均不等式的常用模型）．把上式中的x 换成1+x ，得：③
]01(22)1ln(111211)2(21，，-∈+≤
+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++x x x
x x x x x x ；④
等效转动惯量
).,0[1
)
2(21)1ln(22+∞∈++⋅≤+≤+x x x x x x x ，所以，整理得：
①)
0(,)111(211)1(2222≥≤+-+≤+≤+≤+≤-x x x x x x x In x x x x ②)01(,222)1(1)111(212
≤<-≤-≤+≤+≤+≤+-+x x x x x x x In x
x x x ③)0(,1
21>≤
≤--x x e
x x
④x
x x In x +≥+≥1)1(⑤)1(,11
1<-≤
≤+x x
e x x
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