题目：详细推导SSH模型。
解：体系的哈密顿量是体系的总能量，聚乙炔链是由CH单元和电子所组成的，因而聚乙炔的总能量是晶格原子和电子两部分能量之和。用和分别表示晶格原子和电子的哈密顿量，则聚乙炔的哈密顿量为 （1.1）
先讨论晶格原子部分的.设原子质量为M，对于聚乙炔，M表示CH单体的质量，M=1.67克，是质子质量），第n个原子在链方向上的位移为，其速度则为，于是所有晶格原子的动能为
（1.2）
武汉科技大学外语外事职业学院晶格原子之间的势能是弹性势能，它正比于相邻原子间距离变化的平方，因为第n个和第n+1个原子的位移各位和，
（1.3）
高尔夫公司
其中K是弹性常数，对于聚乙炔，K=21-56ev/.
于是晶格原子的哈密顿量为
焦化行业准入条件
， （1.4）
再看电子部分的.电子在晶格原子的周期性势场中运动（该势场表示晶格原子和电子的相互作用），设原子的平衡位置为,当它位移了后，原子的瞬时位置为
， （1.5）
设第i个电子的坐标为，第n个原子对第i个电子的势能为于是，整个晶格中各个原子对第i个电子所产生的势能将是
(1.6)
第i个电子的动能是
， （1.7）
其中m是电子的质量，是第i个电子的动量，于是第i个电子的哈密顿量为
(1.8)
聚乙炔中所有电子的总哈密顿量是
(1.9)
将电子的动量变为动量算符，就可以得到聚乙炔的总哈密顿算符是 （2.0）
由于原子的质量比电子重得多，其量子效应比较小，所以，在哈密顿算符（2.0）中，原子的动量没有变成算符，因此原子部分的哈密顿量是经典的，处理起来比较简单。电子部分的包含算符，直接从式（2.0）出发，处理起来比较困难，考虑到聚乙炔的特点，利用适当的近似（称为“紧束缚近似”）可使简化。
为此先讨论一个电子在晶格势场中的运动，即。此时，单电子的薛定谔方程为
（2.1）
在聚乙炔中，当电子处于第n个碳原子附近时，电子受到的势能作用主要来源于，其它所有碳原子的势能总和将比日体艺术小得多，可以视为微扰。也就是说，在附近，电子将比较紧地被第n个碳原子所束缚，其它碳原子对该电子的影响比较小，在零级近似下，方程（2.1）简化为第n个孤立碳原子中的薛定谔方程
(2.2)
其中和是孤立碳原子中的电子本征函数和本征值。由于碳原子中的电子激发态的能量比较高，电子只处于最低的能级上，因而可以只考虑此最低的能级，并认为和就是此最低能级上的波函数和能量。
因为各个碳原子上最低的能量都是相同的，因而不同碳原子上的波函数是相互简并的状态。根据简并态的微扰理论，方程（2.1）中的零级近似波函数应该是所有的线性组合，即
(2.3)
其中是展开系数，表示电子出现在第个原子中的几率。将式（2.3）代入方程（2.1）可求得确定的方程
(2.4)
两边乘上，并对空间积分，注意到不同原子上波函数之间很少交叠，近似地有
(2.5)
即不同的基本上是相互正交的，于是由式（2.4）得到
(2.6)
利用孤立原子的薛定谔方程（2.2），上述方程可简化为
(2.7)
当格点和不是近邻时，原子波函数和之间有交叠，两者乘积的积分等于零，和才有一定的交叠，含有的积分才不等于零，因而
A ,
， (2.8)
1，其它
其中就是相邻两原子之间的相互作用能量，将此式代入式（2.7）可得到确定的方程为
(2.9)
这是的联立方程，求解它就可得到聚乙炔中电子的能谱E和波函数。在一般情况下，原子不一定在平衡位置上，那时求解方程（2.9）比较复杂，如果各个原子都在平衡位置上，方程（2.9）是很容易求解的，此时
- (3.0)
于是式（2.9）可简化为
(3.1)
设 (3.2)
代入方程（3.1）得到
(3.3)
这就是紧束缚近似下的电子能谱。同时，将式（3.2）代入式（4）就得到电子的波函数
（3.4）
以上讨论的是一个电子在晶格势场中的运动，当N个电子同时存在时，可利用二次量子化方法来得到N个电子的哈密顿量，这时，在展开式（2.3）中，将展开系数变为电子的湮灭算符，同时，变为电子的场算符，它的厄密共轭是，即
（3.5）
其中是电子的产生算符，和之间满足费米对易关系
（3.6）
利用场算符和可将N个电子的哈密顿量（1.9）用单电子的哈密顿量
表示为
（3.7）
将式（3.5）代入上式，有
（3.8）
利用第个原子的薛定谔方程（2.2），上式简化为
（3.9）
再利用式（2.8），上式进一步简化为
（4.0）
大唐营养师
可以将作为计算能量的零点，则
（4.1）
这就是SSH模型哈密顿量中的电子部分
毕晓普 现在对式（4.1）作两点补充：首先，由于电子具有自旋，为了说明跳跃电子的自旋状态，讲产生算符和湮灭算符写成和，它们说明在第n个原子上增加或减少一个自旋为s的电子。其次，由于原子离开平衡位置的位移很小，这时相邻原子间的距离=与平衡位置间的距离相差很小，即，于是相互作用能可展开成
（4.2）
其中是平衡位置上相邻两原子之间的相互作用能，，是相互作用t随原子间距离的变化率，对于聚乙炔，一般采用
.
将（1.74）式代入（1.73）式并考虑自旋s后，
， （4.3）
同时，整个聚乙炔的哈密顿量变为
（4.4）
此H就是SSH哈密顿量。苏武沛（W.P.Su）,Schrieffer和Heeger三人首先利用它来从理论上研究聚乙炔，它们取的参数为
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议