高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
第2章无限期模型与世代交叠模型
2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ), ()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。假设所
有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。 （a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。这是一个典型的最优化问题。
安阳榕树湾min wAL +rK s.t.Y =ALf (k )
构造拉格朗日函数：
F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]
求一阶导数：
ðF
ðK
=r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF
ðAL
=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：
r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )
w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]
r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k ) 上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显，k 的选择独立于Y 。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，
这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：
∑Y i =N
i=1
∑AL i f (k )N星标邮件
i=1
=Af (k )∑L i N
i=1
=AL
̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有L
̅的劳动人数，则它也会生产Y =AL
̅f (k )的产量。这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。 2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。令P 1和P 2分别表示消费品在这两期中的价格，W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：P 1C 1+P 2C 2=W （a ）已知P 1和P 2和W ，则此人效用最大化的C 1和C 2是多少？ （b ）两期消费之间的替代弹性为
−[(P 1P 2⁄)(C 1C 2⁄)⁄][ð(C 1C 2⁄)ð(P 1P 2⁄)⁄]，或−ðln (C 1C 2⁄)ðln (P 1P 2⁄)⁄。证明，若效用函数为（2.43）式，是则C 1与C 2之间的替代弹性为1θ⁄。
答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。 max U =
C 1
1−θ1−θ
+11+ρ
C 2
1−θ1−θ
（1）
（2）
求解约束条件：
C 2=W P 2⁄−C 1P 1P 2⁄
（3）
将方程（3）代入（1）中，可得：
U =
C 1
1−θ
1−θ
+11+ρ
[W P 2⁄−C 1P 1P 2⁄]1−θ
1−θ
（4）
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对C 1求一阶条件可得：
ðU ðC 1⁄=C 1−θ
+
11+ρ
C 2−θ(−P 1P 2⁄)=0
解得：
C 1=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄C 2
（5）
将方程（5）代入（3），则有：
C 2=W P 2⁄−(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄C 2P 1P 2⁄
解得：
C 2=W P
2
⁄1+(1+ρ)⁄(P 2
P
1⁄)
()⁄ （6）
将方程（6）代入（5）中，则有：
C 1=
(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄(W P 2⁄)
1+(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)(1−θ)θ
⁄
（7）
（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
C 1C 2⁄=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄
（8）
对方程（8）两边取对数可得：
ln (C 1C 2⁄)=(1θ⁄)ln (1+ρ)+(1θ⁄)ln (P 2P 1⁄)
（9）
则消费的跨期替代弹性为：
−ð(C 1C 2⁄)ð(P 2P 1⁄)P 2P 1⁄C 1C 2⁄=ðln (C 1C 2⁄)ðln (P 2P 1⁄)=1θ 因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a ）假设事先知道在某一时刻t 0，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。那么，消费是否会在时刻t 0发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻t 0前后消费之间的关系。） （b ）假设事先知道，在某一时刻t 0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻t 0发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻t 0前后消费之间的关系。)
答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期△t 内，从(t 0−ε)到(t 0+ε)。
考虑家庭在(t 0−ε)时期减少每单位有效劳动的消费为△c 。然后他在(t 0+ε)投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本u ′(c 前)△c ，在(t 0+ε)会有一收益e [r (t )−n−g ]△t △c ，财富的回报率为r (t )，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为(12⁄)u ′(c 后)e [r (t )−n−g ]△t △c 。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满
足下列条件：
u ′(c 前)△c =
12
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u ′
(c 后)e [r (t )−n−g ]△t △c 在△c ≠0时，有下式：
u ′
(c 前)=12
u ′
(c 后)
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数u (C )为ln
(C )。考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的C 表示为初始财富加上劳动收入现值、r (t )以及效用函数各参数的函数。
答： U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))
L(t)H
dt
2.1
∫e −R (t )∞
t=0C (t )
L(t)H
dt ≤
K (0)H
+∫e −R (t )∞
t=0W (t )
L(t)H
dt
2.6
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。 max U =∫e −ρt ∞t=0lnC (t )
L (t )H
dt
（1）
<∫e −R (t )∞
t=0C (t )
L(t)H
dt =
K (0)H
+∫e −R (t )∞
t=0A (t )w (t )
L(t)H
dt （2）
令W =
K (0)H
+∫e −R (t )∞t=0A (t )w (t )
L(t)
H
dt
建立拉格朗日方程：
L =∫e
−ρt
∞
t=0
lnC (t )L (t )H dt +λ[W −∫e −R
(t )∞
t=0
梅契尼科夫
C (t )L(t)H dt]
求一阶条件：
ðL ()=e −ρt C (t )−1L(t)−λe −R (t )L (t )=0 抵消
L (t )H
项得：
e −ρt C (t )−1=λe −R (t )
（3）
可以推出：
C (t )=e −ρt λ−1e R (t )
（4）
将其代入预算约束方程，得：
∫e −R (t )∞
t=0[e −ρt λ−1e R (t )]
L(t)H
dt =W
（5）
将L (t )=e nt L (0)代入上式，得：
λ−1
L(0)H
金地九珑璧∫e −(ρ−n )t ∞
t=0dt =W
（6）
只要ρ−n >0，则积分项收敛，为1(ρ−n )⁄，则：
λ−1=W
L(0)H ⁄(ρ−n )
（7）
将方程（7）代入（4）：
C (t )=e R(t)−ρt [W
L(0)H ⁄(ρ−n )]
赣语
（8）
因此，初始消费为：
C (0)=W
L(0)H ⁄(ρ−n )
（9）
个人的初始财富为W
L(0)H ⁄，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。(ρ−n )为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不变，令W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知r 、W 和效用函数中的各参数，求C 的效用最大化路径。
U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))
L(t)H
dt
2.1
u(C (t ))=
C (t )1−θ
1−θ
2.2
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即： max U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))L(t)H
dt
（1）
<∫e −rt ∞
t=0C (t )
L(t)H
dt =W
（2）
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