贺菊煌
(中国社会科学院数量经济与技术经济研究所 100732)
内容提要：本文讨论经济增长模型中储蓄率内生化的各种问题，包括有限寿命与无限寿命、确定寿命与不确定寿命、不确定寿命下的消费决策方法、不确定寿命下非预料死亡者的遗产如何处理、个人生命如何分期、个人如何预期未来收入等。强调了寿命假定与人口年龄结构的内在联系，提出了寿命不确定下个人消费决策的新方法，探讨了有关未来收入的趋势预期和水平预期，并分析了哪一种更接近实际。 关键词：储蓄率 不确定寿命 收入预期
在索洛经济增长模型中，储蓄率是作为外生变量处理的，这使得它在理论上欠完美，在应用上受到了限制。因此，一些经济学家致力于增长模型的储蓄率内生化研究，取得了不少有价值的成果，但都不完善。本文拟对这方面的问题进行讨论。
储蓄率内生化的基本方法是将个人消费的跨时优化纳入模型之中。其中有3个关键点:(1)跨时效用函数,(2)个人寿命;(3)未来收入的预期。
tribon关于第一点，现有的大多数文献采用时际可加的常数边际效用弹性函数。我们也认为这样的函数比较合理，因此本文不再讨论它。关于第二点和第三点，在现有文献中，流行的假定有的离实际很远，使得与它们相联系的模型得出的一些结论不正确。所以本文将集中注意力对这两方面的问题进行讨论。
一、关于个人寿命
11个人消费跨时优化中的寿命假定
在现有的关于个人消费的跨时优化模型中，对于人的寿命有以下几种假定:
SULPHER1)确定的无限寿命。即假定人们永远不死。它被许多经济模型采用。例如Cass-K oopmans模型。
2)不确定的无限寿命。即假定人们可能生存无限长的时间，但人们在任何时期都有一个不变的、大于0小于1的死亡概率。如布兰查德和费希尔《宏观经济学》中的“永葆青春模型”。
3)确定的有限寿命。即假定人们在某个确定的较大年龄以前，死亡概率为零；在到达这个确定的较大年龄以后，死亡概率为1。它也被许多经济模型采用。例如M odigliani的生命周期模型, Diam ond的世代交叠模型。
4)不确定的有限寿命。即人们有一个最大可能年龄；在到达最大可能年龄以前，在每个年龄上都有一
个大于0小于1的死亡概率，而且除了婴幼儿阶段和少年阶段，死亡概率随年龄的增大而增大；在到达最大可能年龄以后，死亡概率为1。由于其复杂性，现有文献没有把这种寿命假定纳入经济增长模型之中；只有少量文献把这种寿命假定纳入遗产问题的研究之中。
前两种假定离实际很远。第3)种假定离实际较远。第4)种假定切合实际，而且与人口结构进
3 感谢匿名审稿人的修改意见，文责自负。
入经济模型相适应。许多经济问题的研究涉及人口结构问题；例如人口变动对储蓄率的影响、社会养老保险等问题的研究，都涉及人口结构问题。在经济模型中引入人口结构，起码需要引入分年龄的人口死亡率；这就意味着个人寿命的不确定性。所以，在消费的跨时优化中引入不确定有限寿命，是人口结构进入经济模型的逻辑延伸。
21不确定寿命下的消费决策方法
在现有文献中，对于不确定有限寿命下的消费决策，学者们提出的基本方法是：把存活概率作为贴现因子之一纳入跨时效用函数之中；其优化的时间区间仍然采取确定寿命模型所用的固定终点的区间。我们认为，这样的方法不正确。因为，在不确定寿命下，人的死亡年龄不是常数，而是随机变量；因此消费的跨时优化的时间区间的终点不是常数，而是随机变量。与此相对应的概率，不是存活概率，而是余年(还能活多长时间)概率。这两种概率的区别见图1、图2。
图1 50岁、65岁者到x 岁
还活着的概率(存活概率)图2 50岁、65岁者死于x 岁的概率(余年概率，曲线下的面积等于1)
我们认为，在寿命不确定条件下，个人消费决策可取以下两种方法:
(1)“余年分析法”。这种方法将消费决策分三步:
第一步，计算余年(未来可能的生存时间)的概率分布。在寿命不确定条件下，每个年龄的人的余年都是随机变量。其概率分布可根据分年龄的人口死亡率表计算出来。对于不同年龄的人，余年的概率分布不同。
第二步，确定每个余年值下的最优消费。为此，需要按每个余年值建立跨时效用函数和跨时预算约束条件，从中求解最优消费。
第三步，将第二步得出的每个余年值下的最优消费按第一步得出的余年概率加权求和，得出综合最优
消费。
(2)“预期余年法”。这种方法是用“预期余年”
(余年的期望值)代替许多个可能的余年；个人每年在预期余年下建立跨时效用函数和跨时预算约束条件，从中求解最优消费。“预期余年”在人口统计学中有精确的定义和计算公式。
以上两种方法的详细论述见贺菊煌(2004a )。
比较这两种方法，从完美性说，方法(1)优于方法(2)；从简便性说，方法(2)优于方法(1)。我们提出的这两种方法，与现有文献中所用的方法完全不同。对于现有文献中所用的方法，我们以布兰查德“永葆青春模型”中所用的方法为代表，给以批评(详见贺菊煌,2004a )。
31非预料死亡者的遗产如何处理
在不确定寿命模型中，如何处理非预料死亡者的遗产，是个难题。布兰查德提出的处理办法是：保险公司对活着的人支付保险金，在他们死亡时接收其全部财产；保险公司按自己收支相抵的
原则确定统一的保险金支付率。我们提出的处理办法是：非预料死亡者的遗产由刚开始工作的人继承。有没有更好的办法，有待进一步的研究。
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41人口的年龄结构残疾人教育条例
在确定的无限寿命中，人的年龄没有意义，因此不存在年龄结构问题。
在其他三种寿命假定中，人的年龄有意义，存在人口的年龄结构问题。当人口增长率为零时，人口按年龄的分布在确定的有限寿命下是均匀分布，在不确定的有限寿命下是半边宝塔形分布，在不确定的无限寿命下是负指数分布，如图3。
图3 不同寿命假定下人口的年龄结构
图中，水平线(L1)是确定的有限寿命下人口的年龄结构(假定每个人都活到70岁)；半边宝塔形曲线(L2)是不确定有限寿命下人口的年龄结构(假定分年龄的人口死亡率等于中国1990年人口普查的死亡率表，平均寿命为6815岁)；负指数曲线(L3)是不确定无限寿命下人口的年龄结构(假定死亡概率为每年1Π70，从而平均寿命为70岁)。图3表明，不确定无限寿命和确定的有限寿命下人口的年龄结构都离实际较远。对于某些经济问题(如社会养老保险)的研究来说，这样的寿命假定是不合适的。
51工作期与退休期
在有限寿命中，个人生命有工作期与退休期的之分；而在无限寿命中，没有这种区分。对于消费问题的研究来说，这种区分很重要。因为在现实中，人们在工作期的收入一般高于退休期的收入；工作者-退休者人数比率、工作期-退休期时间比率、有无退休金、退休金的相对高低，对于社会储蓄率都有重要影响。所以，对于消费问题的研究来说，采用有限寿命比较好，无限寿命则不可取。
61有限寿命下的消费路径
在经济稳定增长(包括零增长)的条件下，按确定的有限寿命进行跨时优化，产生的个人消费路径是单调变化的，通常是单调增加，从而个人退休期的消费水平高于工作期的消费水平。其原因是：在合理
设定参数的前提下，含确定的有限寿命的经济增长模型产生的资产收益率高于作为模型参数的时间偏好率，使得个人退休后消费高于退休前消费。见图4。
不确定有限寿命的情况与此不同。在经济稳定增长(包括零增长)的条件下，按不确定有限寿命进行跨时优化，产生的个人消费路径不是单调变化的，而是表现为先上升后下降的形态，使得个人退休后消费低于退休前消费。见图5。其原因是：不确定有限寿命下的消费路径，不仅与资产收益率与时间偏好率的对比有关，而且与余年的概率分布随年龄而改变有关。
这两图哪一个比较符合实际?我们初步判断是图5比较符合实际。是否这样，读者可自己判断。如果我们的判断正确，那么，不确定有限寿命就比确定的有限寿命更可取。
71个人生命如何分期
图4 工资零增长下，确定寿命的个人
一生的收入(Y )、消费(C )、非资产收入(Z )图5 工资零增长下，不确定寿命的个人一生的收入(Y )、消费(C )、非资产收入(Z )在现有关于个人消费的有限寿命模型中，对个人生命的分期主要有两种：一种是分2期，分为青年期和老年期。如Diam ond 的世代交叠模型。另一种是按年分期。前者的优点是便于数学处理，可以得出模型的内生变量作为参数的函数的解析式。后者很难进行数学处理，得不出模型内生变量作为参数的函数的解析式；只能通过模型的数值模拟进行分析。
但是，分2期的模型存在严重缺陷。主要是:
1)回避了收入预期问题。在2期模型中，个人工资收入只存在于生命的第一期，此工资收入对个人来说是已知数，因此个人消费决策不涉及工资预期问题。而在实际经济中，在职者的消费决策都涉及未来工资的预期问题；如何预期未来工资收入，对经济系统的动态有重要影响。
2)人口的年龄结构和劳动者-退休者人数比率离实际太远。当人口增长率为零时,2期模型中的劳动者-退休者人数比率为1∶1；而在现实社会中，此比率一般大于3。
由于存在这些缺陷,2期模型得出的一些结论不符合实际。例如，在合理给定参数的条件下,
Diam ond 的世代交叠模型得出“资产收益率变动对储蓄率的影响为负”
(笔者将另写文章详述)。这与多数学者的实证研究结果不符。
M odigliani 在关于生命周期消费的研究中，曾经把个人生命分为5期，前4期工作，后1期退休。也得出“资产收益率变动对储蓄率的影响为负”的结论。他说:“在增长经济中，储蓄Π总收入比率在
利息上升时下降”
(莫迪利亚尼,1993)。按照同样的方法，我们把个人生命分为10期，前8期工作，后2期退休；或者个人生命按年分期，前44年工作，后11年退休；却得出相反的结论:“资产收益率变动对储蓄率的影响为正”。
这些说明：对于某些问题的研究，个人生命分期数不能太少；否则会得出不正确的结论。
81未成年人的消费如何处理
关于未成年人的消费，现有模型一般笼统地假定由成年人供给，但在成年人的跨时效用函数和跨时预算中不具体地表现出来。因此在模型中根本不纳入未成年人。如果要在成年人的消费决策中考虑未成年人的消费，模型就太复杂了，而且很难准确描述。因为不同年龄的成年人的负担不同。
一种可考虑的解决办法是：把未成年人的消费作为一种负担纳入成年人的跨时预算中，但不纳入成年
人的跨时效用函数中。为了测试这种办法，我们构建了一个个人生命分为4期(未成年期、青年期、中年期、老年期)的经济增长模型。其中未成年人的消费作为负担纳入青年人和中年人的跨时预算中。模型得出的结论与个人生命分为3期(青年期、中年期、老年期)的模型得出的结论没有质的区别。
二、关于未来收入的预期
在消费的跨时优化的多期模型中，必然涉及对未来收入的预期问题。而且预期涉及的时间很长。例如，对于一个20岁的人来说，如果他打算工作到64岁，预期能活到80岁，那么，他就要对未来44年的工资收入和以后16年的退休金作出预期，才能对现在(20岁)的消费作出优化决策。显然，对如此长时期的收入作出正确的预期是不可能的，作出比较正确的预期也是很困难的。在现有文献中，关于未来收入的预期主要有以下两种假定:
一种是理性预期。在确定性模型中，理性预期者假定人们对未来的收入完全预知(perfect 2foresight )；在随机性模型中，理性预期者认为人们对未来的收入虽然不能完全预知，但能够作出无偏预期。
另一种是“幼稚预期”。在确定性模型中，它以当时的收入水平预期未来长时期的收入水平；在随机性模型中，它以当时的正常收入水平预期未来长时期的收入水平。M odigliani 在他的题为“效
用分析与总量消费函数：统一的释义”的文章中，采用的就是这样的预期(《莫迪利亚尼文选》第四
部分，林少宫译，商务印书馆,1993年)。
在稳定的经济增长模型中，理性预期表现为无偏的趋势预期;“幼稚预期”表现为有偏的水平预期。如图6所示。
图6 对未来收入的趋势预期与水平预期图6中，实线表示收入在最近一段时期(时期0
到时期5)的实际变动；往上延伸的虚线表示在时期
5对未来收入的趋势预期；水平延伸的虚线表示在
时期5。
这两种预期哪种比较符合人们的实际行为，很
难直接判定；需要根据与其相联系的模型的分析结吉广在线
果与实际对照才能判定。我们把这两种预期交替纳入带生命周期消费的新古典增长模型，用该模型
研究经济增长率和资产收益率变动对储蓄率的影响，得到如下结论：当对未来收入的预期采取水平预期时，经济增长率变动对储蓄率有较大的正影响；资产收益率变动对储蓄率有较小的正影响。当对未
来收入的预期采取趋势预期时，经济增长率变动对储蓄率的影响为负；资产收益率变动对储蓄率有较大的正影响(详见贺菊煌,2004b )。
查阅前人的实证研究，大多数学者的结论是：经济增长率变动对储蓄率有较大的正影响；资产收益率变动对储蓄率有较小的正影响。与上面的结论对照，可知：对未来收入的水平预期比较符合实际，对未来收入的趋势预期不符合实际。
零花钱不够偷电脑三、主要结论
总结本文的分析，有以下主要结论:
(1)经济模型关于个人寿命的假定与人口的年龄结构有内在的联系。不确定的有限寿命所对应的人口年龄结构最接近实际，最适宜于社会养老保险、人口变动对经济的影响等问题的研究。
(2)在不确定寿命下，人的余年(还能活多长时间)是随机变量。其概率分布可根据人口死亡率表计算出来。我们以余年概率分布为基础，提出了不确定寿命下个人消费决策的两种方法—余年分析法和预期余年法。它们比前人以存活概率为基础的分析方法更正确、更科学。
(3)在有限寿命中，个人生命有工作期与退休期之分；人们在工作期的收入一般高于退休期的收入；工作者-退休者人数比率、工作期-退休期时间比率、有无退休金、退休金的相对高低，对于
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