尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》第11版课后习题详解
1．考虑下面的博弈：
（1）到纯策略纳什均衡（如果存在）。
（2）在均衡中各个参与人只会在前两个行动之间随机选择，到此时的混合策略纳什均衡。 （3）计算问题（1）、（2）中得到的均衡中各个参与人的期望收益。 （4）画出这个博弈的扩展式。
解：（1）用划线法求解纯策略纳什均衡
当参与人1选择A时，则参与人2会选择E；参与人1选择B时，那么参与人2选择D；参与人1选择C时，参与人2会选择F。
当参与人2选择D时，则参与人1会选择A；参与人2选择E时，那么参与人1选择B；参与人2选择F时，参与人1会选择C。
综合上述，此博弈的纯策略纳什均衡为：（C，F）。
中国知网首页（2）在均衡中各个参与人只会在前两个行动之间随机选择，此时的博弈矩阵如下：
设参与人1选择A的概率为r，参与人2选择D的概率为c，那么参与人1的期望收益为：E1＝7rc＋5r（1－c）＋5（1－r）c＋7（1－r）（1－c）＝4rc－2r－2c＋7
①若c＞1/2，则随着r的增加参与人1的期望收益值增加；
②若c＜1/2，则随着r的增加参与人1的期望收益值减小；
③若c＝1/2，则参与人1的期望收益值的变化不受r的影响。
同理，参与人2的期望收益为：E2＝6rc＋8r（1－c）＋8（1－r）c＋6（1－r）（1－c）＝－4rc＋2r＋2c＋6
①若r＞1/2，则随着c的增加参与人2的期望收益值减小；
②若r＜1/2，则随着c的增加参与人2的期望收益值增加；
③若r＝1/2，则参与人2的期望收益值的变化不受c的影响。专业教育
综上所述，该博弈的混合策略纳什均衡为：参与人1选择A、B策略的概率各占1/2；参与人2选择D、E策略的概率也各占1/2。
（3）在（1）中，参与人的纯策略纳什均衡点为（C，F），此时两人的期望收益均为4。
在（2）中，参与人的混合策略均衡为参与人1分别以1/2的概率选择A、B策略；参与人2分别以1/2的概率选择D、E策略，此时，有：
火影忍者幻之地底遗迹1111=4227=422+7=222四堡乡
162rc r c --+⨯⨯-⨯-⨯参与人的期望收益11114226=4+2+2+6=722222
rc r c =-+++-⨯⨯⨯⨯参与人的期望收益（4）以参与人1先做出选择为例，该博弈的扩展式如图8-11所示。
图8-11博弈的扩展式
2．在图8.3的性别之战中，混合策略纳什均衡会与收益的数值相关。为了得到一个一般解，假设该博弈的收益矩阵是：
其中，K≥1。请说明混合策略纳什均衡与K取值的关系。
解：假设参与人妻子以概率r欣赏芭蕾舞，丈夫以概率s欣赏芭蕾舞，则妻子的期望效用为：E（U1）＝1－s＋r[（K＋1）s－1]
丈夫的期望效用为：E（U2）＝K（1－r）＋s[（K＋1）r－K]
因而可得混合策略纳什均衡为：s＝1/（K＋1），r＝K/（K＋1）
3．胆小鬼博弈描述的是，在一条单行道上，两个血气方刚的年轻人面对面地驾车加速冲向对方。第一个转向的人会被打上胆小鬼的烙印，而没有转向的人则会受到其他年轻人的尊重。当然，如果双方都不转向，两个人都会因为撞车而死亡。胆小鬼博弈的收益矩阵如下图所示。 （1）画出博弈的扩展式。
（2）出博弈的纯策略纳什均衡。
（3）计算混合策略纳什均衡，作为答案的一部分，画出混合策略的最优反应函数图形。
（4）假定博弈是序贯进行的，其中年轻人1首先行动，他扔掉了汽车的方向盘以此来承诺他不会选择转向。此时年轻人2应该选择怎样的策略？写出这个序贯博弈的标准式和扩展式。
（5）利用序贯博弈的标准式求出纳什均衡。
（6）求出这个序贯博弈的严格子博弈。运用逆向归纳法求解子博弈完美均衡，并且解释为什么另一个纳什均衡是不合理的。
解：（1）分别用A、B代表年轻人1和年轻人2。则该博弈的扩展形式如图8-12所示。
图8-12博弈的扩展形式
（2）用划线法可以出该博弈存在两个纳什均衡：（转向，不转向）、（不转向，转向）。
（3）设年轻人1选择转向的概率为r，年轻人2选择转向的概率为c，那么年轻人1的期望收益为：E1＝2rc＋r（1－c）＋3（1－r）c＝－2rc＋r＋3c
①若c＞1/2，则随着r的增加年轻人1的期望收益值减小；
②若c＜1/2，则随着r的增加年轻人1的期望收益值增加；
③若c＝1/2，则年轻人1的期望收益值的变化不受r的影响。
同理，参与人2的期望收益为：E2＝2rc＋3r（1－c）＋（1－r）c＝－2rc＋3r＋c
①若r＞1/2，则随着c的增加年轻人2的期望收益值减小；
②若r＜1/2，则随着c的增加年轻人2的期望收益值增加；
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③若r＝1/2，则年轻人2的期望收益值的变化不受c的影响。
综上所述，该博弈的混合策略纳什均衡为：年轻人1选择转向、不转向策略的概率各占1/2；参与人2选择转向、不转向策略的概率也各占1/2。混合策略的最优反应曲线如图8-13所示。
图8-13最优反应曲线
索爱wt19i（4）如果该博弈是序贯进行的，其中年轻人1首先行动，他扔掉了汽车的方向盘以此来承诺他不会选择转向。年轻人2的权变策略有以下几种：总是选择转向，总是选择不转向，和年轻人1的选择相同，和年轻人1的选择相反。此时这个序贯博弈的标准式和扩展式分别如表8-2、图8-14所示。
表8-2年轻人1承诺不转向时的博弈的标准式
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