1.1 略 1.2
不会被重复剔除严格劣战略剔除的战略是：T, M, L, R ； 纯战略纳什均衡是(T, R)和(M, L)。 1.3 设此博弈的纯战略纳什均衡是（*1s , *
2s ）。
对于参与人1来说，**
12
21***
111220111
max{max ,max }max{1,0}1s s s s s s s s s ≤≤−−<≤==−=− ； 同理，**
21
1s s =−。 也即，此博弈的纯战略纳什均衡为（*1s , *2s ），且满足**121s s +=，**
120,1s s ≤≤。 1.4
对于第i 个厂商，其目标为最大化自己的利润，即：
*
max max()max()i i i i i i i q q p c q a q q c q π−≥≥=−=−−−；
由一阶条件/0i i q π∂∂=，可得：**
()/2i i q a q c −=−− (1)
（1）式两端乘以2，再减*
i q ，可得：*
*
i q a Q c =−−……（2），对于任意的i 都成立。 所以所有的*
i q 都相等。由此，将*
*
*i i i
Q q
nq =
=∑代入（2）式，可得：
*()/(1)i q a c n =−+，*()/(1)Q n a c n =−+，*()/(1)p a nc n =++。
当n 趋近于无穷时，*p 趋近于边际成本c ，市场趋近于完全竞争市场。 1.5 双方都生产/2m q 时，每一方的利润都为2
1()/8a c π=−；一方生产/2m q ，另一方生产c
q 时，生产/2m q 的一方的利润为2
25()/48a c π=−，生产c q 的一方的利润为
235()/36a c π=−；双方都生产c q 时，每一方的利润都为24()/9a c π=−。以标准式表示
为：
q m /2 q c 1π,1π 2π,3π 3π,2π 4π,4π 因为13ππ<，24ππ<，所以每一方都有一个严格劣战略，即
q m /2，从而最后的均衡为
q m /2
q c韩文虹
(c q ,c q )。因为14ππ>，所以均衡状态时，每一企业的福利都要比他们相互合作时下降。 至于q ’，不妨令'()/2q a c =−，则同理可得如下标准式： q m /2 q c q ’ 1π,1π 2π,3π 5π,1π 3π,2π 4π,4π 6π,7π 1π,5π 7π,6π 8π,8π
其中，25()/16a c π=−，26()/18a c π=−，2
7()/12a c π=−，80π=。此博弈符合题目要求，即(c q ,c q )是唯一的纳什均衡，并且在纳什均衡下，每一企业的福利都要比他们相互合作时低，但两个企业都没有严格劣战略。
1.6
当120,/2c c a <<；时，易求均衡产量*
121(2)/3q a c c =+−，*
212(2)/3q a c c =+−。而当
12c c a <<；且212c a c >+时，纳什均衡解为角点解，即*11()/2q a c =−，*王馨流产
20q =。此题目
说明：当厂商的生产成本有较大差异时，具有成本优势的厂商将垄断整个市场，而处于成本劣势的厂商将退出市场。 1.7
简单证明(c,c)为唯一的纳什均衡。
首先，给定对方定价c ，己方定价c 时，利润为0。而己方定价高于c 时，利润为0，低于c 时，利润为 负。所以给定对方定价c ，己方定价c 是最优反应，这对于双方都成立，也即(c,c)是纳什均衡。
其次，由于不存在固定成本，所以市场中企业的定价不可能低于c 。而双方定价都高于c 时，每一方理论上都倾向于定价低于对方但无限接近对方，从而占据整个市场，从而此时没有稳定的均衡；而一方定价高于c 、另一方定价为c 同样不够成稳定均衡，因为定价为c 的企业更倾向于定价高于c 但低于另一方的定价。由此，可以证明纳什均衡(c,c)的唯一性。 1.8
如果有两个候选人，唯一的纯战略纳什均衡为*
*
120.5x x ==，即两候选人集聚于中点，平分全部选票。下面简单证明：无论两候选人都在中点右侧，都在中点左侧，还是分居中点两侧，每一候选人都倾向于比另一候选人更接近中点以获得超过半数的选票，所以没有稳定的均衡；都在中点时，每个人都有1/2的胜出概率，而偏离必定输掉选举，所以没有人会偏离中点。由此得证上述均衡为唯一的纯战略纳什均衡。
如果有三个候选人，可以用类似于上面的方法证明不存在纯战略纳什均衡：无论三个候选人的相对位置如何，都不会形成稳定的均衡。所以题目要求的是混合纳什均衡。具体方法 请参见
Hotelling, H. (1929) “Stability in Competition ”, Economic Journal 39: 41-57.
q m /2
q c
q ’
1.9 略 1.10
按照求解混合战略纳什均衡的方法去解这些博弈，发现不存在混合战略纳什均衡，也就证明了。过程略。 1.11
首先重复剔除严格劣战略，可得下面的博弈：
L R
2，0 4，2 3，4 2，3
针对上面的博弈，设参与人1的战略为（p,1-p ），参与人2的战略为（q,1-q ）。 则对于1来说，****24(1)32(1)q q q q +−=+−，得：*2/3q =； 对于2来说，*
*
第一祸水*
4(1)23(1)p p p −=+−，得*
1/3p =。 则原博弈的混合战略纳什均衡为：{ (1/3, 2/3, 0), (2/3, 0, 1/3) }。
1.12
按照 1.11的解法，可得混合战略纳什均衡为：{ (2/3, 1/3), (3/4, 1/4) }。过程略。
1.13
此博弈有两个纯战略纳什均衡、一个混合战略纳什均衡。
纯战略纳什均衡为：（向企业1申请，向企业2申请）；（向企业2申请，向企业1申请）。 混合战略纳
什均衡为：
()(){}
1
2
1
2
2
11212122112(2)/(),(2)/(),(2)/(),(2)/()w w w w w
w w w w w w w w w w w −+−+−+−+1.14
证明：在混合战略纳什均衡中，参与人i 的混合战略为*
i p ，其中选择第j 个纯战略ij s 的概率为*
ij p 。用反证法证明。
假设*0ij p >，且ij s 是第一个被重复剔除劣战略所剔除的战略。那么参与人i 必定存在另一个纯战略S i
k ，使得(,)(,)i ij i i ik i u s p u s p −−<，i p −是其他参与人任意的战略组合。因为ij s 第一个被剔除，那么*
*
(,)(,)i ij i i ik i u s p u s p −−<；必然成立。
构建参与人i 的另一个混合战略'i p ，其中'0ij p =，*
*
'ik ik ij p p p =+，其他纯战略的选择概
率不变。因为*
*
(,)(,)i ij i i ik i u s p u s p −−<，所以***(,)(',)i i i i i i u p p u p p −−<，而这与**天津路网
(,)i i p p −为
混合战略纳什均衡矛盾，假设不成立，原命题得证。
T
M
2.1
采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定孩子的行动A ，来选择自己的行动B,
()()p c B
MaxV I B k I B −++
一阶条件： '()p V I B k −=, ⇒*'1
()()p B I A V
k −=−
接着最大化孩子的收益，给定家长的反应函数*
jpeg 图像B ，来选A ：
'1(()()())c p A
MaxU I A I A V k −+−
一阶条件： '*''
()[()()]0c c p U I B I A I A ++= 由于U 是递增又严格凹的，'*
()0c U I B +≠
这与孩子的选择可是全家的收入最大化的一阶条件相同：''
()()0c p I A I A += 2.2
采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定的孩子的行动S ，来选择自己的行动B,
12()[()()]p c B
MaxV I B k U I S U S B −+−++
一阶条件： ''2()()p V I B kU S B −=+，
反应函数满足： *"""
221//()0dB dS kU kU V −<=−−< 即，孩子储蓄减少，家长给予更高的赠与。
接着最大化孩子的收益：给定反应函数*vsm
B ，来选S ：
*12()()c S
MaxU I S U S B −++
一阶条件： ''**
12()()(1/)c U I S U S B dB dS −=++，由此可得：
''
**120()/()(1/)1c U I S U S B dB dS <−+=+< （*）
因此当增加S 时， 1()c U I S −会减小，同时，()/0d S B dS +> ，S B ∴+会增加，
∴2()U S B +会增加，因为（*）式，2()U S B +增加的幅度比11()U I S −减小的幅度大，所以
孩子的收益效用增大了，同时家长的收益效用也增大了。 2.3
根据Shaked 和Sutton 的研究发现，我们可以把无限博弈截开（见Gibbons 教材55页），首先分析前三阶段：
假设在第三阶段参与人1提出S ，参与人2接受1-S ，则解决方案为（S ，1-S ）。
则在第二阶段2提出不少于1S δ给参与人1，1就会接受，解决方案11(,1)S S δδ−。
则在第一阶段参与人1提出不少于21(1)
S δδ−给参与人2，2就会接受，
解决方案为（211(1)S δδ−−，21(1)S δδ−）
推广到无限期，从第一阶段开始的博弈和从第三阶段的博弈是一样的，
所以解：211(1)S δδ−−=S 得出212(1)/(1)S δδδ=−−
解决方案：()2122212(1)/(1),(1)/(1)δδδδδδδ−−−−
2.4，2.5略 2.6
采用逆向归纳法：
（1）在第二阶段企业2和企业3决策：
()[]223210
2022cq q q q q a Max Max q q −−−−=≥≥π
()[]333210
30
33cq q q q q a Max Max q q −−−−=≥≥π
得反应函数
−−=−−=33
1312q c a q q c a q （2）第一阶段企业1的决策：
()[]11321cq q q q q a Max −−−−
⇒01
1=∂∂q π
⇒将3132q c a q q −−=
=代入得 2
1c
a q −= 6
32c
a q q −==∴ 2.7
采用逆向归纳法
（1）第一阶段，企业最大化其收益：
1)(1210211
1+−=
∴+−=
∴==
−−=∴=−−+−=−−−=∂∂
−−=∑∑∑∑≠≠n w a n L n w a L L L L w a L L w a L L w L a L w L a L i n i j j i i j j i i n
j i i
n
j i i ππ
（2）第二阶段，工会最大化其收益
2
1)()
()(*wa
a w n w a n wa w L wa w Max w
+=
⇒+−−⇒− 所以企业数量不影响工会效用。
2.8，2.9略 2.10
思路：逐个分析上述的四种情形：
第一种情形，第一阶段选择Qi ，第二阶段选择Pi ，即双方均采取合作的策略，得益均为6；
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