第16卷 第6期2011年6月
中国图象图形学报Journa l o f I m age and G raphics
V o.l 16,N o .6
June ,2011
中图法分类号:TP391 文献标志码:A 文章编号:1006-8961(2011)06-1080-06
论文索引信息：王相海，张洪为，王爽.一种小波变换模极大值的扩散模型[J].中国图象图形学报,2011,16(6):1080-1085 收稿日期:2010-04-19；修回日期:2010-06-14
基金项目：辽宁省自然基金项目(20102123)；辽宁 百千万人才工程 项目(2008921036)；南京邮电大学图像处理与图像通信江苏省重点实验室开放基金(LBEK2010003)。 第一作者简介：王相海(1964 )，男。辽宁师范大学计算机应用技术专业教授，苏州大学计算机应用技术专业博士生导师,CCF 高级会员。主要研究领域为多媒体信息处理,CG ,CAGD 。E -ma i :l xhw ang @l nnu .edu .c n 。
一种小波变换模极大值的扩散模型
王相海
1),3)
，张洪为2)，王爽
1)
1)
(辽宁师范大学计算机与信息技术学院，大连 116029) 2)
(辽宁师范大学数学学院，大连 116029)
3)
(南京大学计算机软件新技术国家重点实验室，南京 210093)
摘 要：遥感图像的噪声分析、评估和滤波一直是遥感图像处理的一个重要研究领域。近年来，基于非 线性扩散模型的图像去噪方法因其在对图像进行去噪的同时，对图像的特征信息具有一定的保护作用而受到遥感图像应用领域的关注并成为研究热点。针对P-M 方程和A L M 模型在去除遥感高斯噪声时所存在的对图像强边缘附近的噪声难以去除和可能造成奇异点的模糊或丢失等问题，将小波变换模极大值进入到扩散模型中提出一种新的非线性扩散模型，并给出模型的离散化算法。该模型有效地克服了P -M 模型和ALM 模型在图像去噪过程中的不足，在有效去除噪声的同时，很好地保留了遥感图像的边缘和纹理细节信息。实验结果验证了所提出模型的有效性和稳定性。 关键词：遥感图像；去噪；小波变换模极大值；非线性扩散
D iffusion model of wavelet modulusm axi m u m
W ang X ianghai
1),3)
,Zhang H ong w ei 2),W ang Shuang
1)
1)
(Colle g e o f C o mputer and Infor ma tion Technol ogy,L iaoning N or m a l Un i versit y,Da lian 116029China )
2)(S c hool ofM a t he ma tics Technol ogy,L iaoning N orma l Un i versit y,D alian 116029China )3)
(S tate K ey Labora tory for N ovel S oft w are T ec hnology ,Nanjing Un i v e rsit y,N anji ng 210093Ch ina )
Abstrac t :The no ise ana lysis eva l uation and filtering of re m ote sensi ng i m age have a l w ays been an i m portant research fi e l d .In recent yea rs ,non li near d iffusi on m ode l based i m age de -no isi ng have rece i ved consi derab l e atten ti on i n the fi e l d of re m o te sensing i m age appli ca tion si nce the m ode l can effic i entl y remove no i ses i n re m o te sensed i m ages ,wh ile we ll preserv i ng the tex ture i n f o r m ati on .T he paper proposes a ne w non li near diff usion mode l by i ntroduc i ng w ave l et m odu l us m ax i m u m i nto the d iffusi on m ode l and g ives a discrete sche m e .O ur m ode l removes t he no ise better than P -M m ode.l M ean w hil e ,the proposed m ode l overco m es the sho rtag e of A L M m odel tha t tend to bl ur i ng and losi ng si ngu l a r po i nt .O ur model can not on l y e fficien tly re m ove no ise in re m ote sensing i m ages ,but a l so si m ultaneousl y reta i n deta il infor m ati on ,such as edge and
tex ture .Experi m ental resu lts ill ustrate the effecti veness and stab ility of t he proposed m ode.l K eywords :re m ote sens i ng i m ge ;de -no isi ng ;w avelet transfor m max i m u m;non li near diff usion
0 引 言
遥感图像的获取和传输过程所带来的噪声在很
大程度上影响了图像的进一步应用
[1]
。传统的图
像平滑算法如均值滤波、中值滤波和高斯滤波等，都属于线性滤波，它们不考虑图像自身的特征，通常在降噪的同时也模糊和破坏图像的边缘等纹理细节信
第6期王相海等：一种小波变换模极大值的扩散模型1081
息[2]。近年来，利用非线性扩散方程进行图像去噪受到关注并成为研究热点[3-6]。利用非线性扩散方
程进行图像去噪，可以把去噪问题转化成目标函数的最优化问题或曲线曲面的演化过程，后者具有良好的数学理论基础。非线性扩散方法总体上可分两类[6]，一类是在区域内和目标边缘处采用不同的平滑策略，即在区域内加速平滑，而在区域交界处抑制平滑。最具有代表性是Perona和M a li k提出的非线性扩散模型(称为P-M模型)[7]，该模型能根据图像的特征进行不同程度的平滑，将图像的去噪与边缘检测统一起来，具有良好的边缘保持能力。然而在随后的研究中，文献[8-9]分别发现了该方程所具有的 病态 特性和对图像中孤立强噪声(如椒盐噪声)和较强边缘处噪声平滑的无效性；另一类是将扩散过程只沿着平行于边缘方向进行，而沿梯度方向不扩散。具有代表性的是A lvarez等人提出的非线性扩散模型[10](称为AL M模型)，该模型能够有效地克服P-M模型的缺陷，但模型的扩散特性会造成重要的图像信息(如奇异点等)的丢失，而且在图像边缘的保持方面要弱于P-M方程。
将小波变换模作为扩散速度信息引入非线性扩散方程之中，提出一种基于小波变换模极大值的非线性扩散模型，该模型克服了P-M模型和AL M模型的不足，在有效去除噪声的同时，可有效保持图像的边缘和纹理细节信息。实验结果也验证了所提出模型的有效性。
1 非线性扩散模型分析
针对文献[11]中提出的热传导方程等价于高斯低通滤波，具有各项同性扩散，而不利于保持图像边缘的特性,Perona和M alik提出一种基于偏微分方程的非线性扩散滤波模型，其主要思想是在滤波器中引
入图像的局部特征(即梯度算子)来检测图像的边缘，将图像的滤波与边缘检测统一起来考虑，提出用非线性方程替换热传导方程[7]。
I(x,y,t)
t=d iv(g(| I|) I)
I(x,y,0)=I0(x,y)
(1)
式中,I0(x,y)为观测图,I(x,y,t)为时间尺度t下I0 (x,y)的平滑版本, I和| I|分别为梯度和梯度模
值,g(| I|)为传导系数，满足li m
| I|
g(| I|)=0和g(0)=1，如文献[7]中使用传导系数g(| I|)=1/(1+(| I|/K)2)及g(| I|)=exp(-(| I|/K)2)使得在图像的边缘附近传导系数减小，甚至接近于0，从而使边缘得到保护；而在图像比较平坦的区域，传导系数增大，噪声被快速消除。而文献[8]指出P-M模型存在着两方面的不足:1)该模型对图像强边缘附近的噪
声难以去除;2)该模型对某些边缘停止函数是一个 病态 问题。针对这些不足，该作者提出用g(|G* u|)代替g(| u|)的正则化的P-M模型(G是高斯函数)。虽然该模型能有效地克服噪声对扩散滤波的干扰，但其扩散函数通常不能充分提取对应不同尺度的图像边缘信息。
文献[10]在平均曲率运动的框架下进一步对P-M模型进行改进，提出如下AL M扩散模型: I(x,y,t)
t=g(|G* I|)| I|d iv
I
| I| I(x,y,0)=I0(x,y)
(2)式中该模型中的| I|div
I
| I|
=I 为退化的扩散项，其中 为垂直于图像梯度的单位矢量,I 为 上的二阶偏导数，可见扩散只发生在与梯度正交的方向上，而在梯度方向不发生扩散，从而使图像的边缘能得到很好的保持甚至加强，而g(|G* I|)用于控制扩散的速度。
AL M模型克服了P-M模型的不足，但模型中的扩散速度仅使用梯度信息，而且退化的扩散项只沿与梯度正交的方向进行扩散，这样通过该模型平滑后的图像，虽然可以保持图像的线条边缘，但却有可能造成奇异点的模糊，甚至丢失。而且尽管高斯滤波能够有效地克服噪声对扩散滤波的干扰，但其扩散函数不能充分提取对应不同尺度的边缘信息。
2 一种新的基于小波模极大值的扩散
模型
2.1 小波模的极大值属性
图像的边缘通常位于图像灰度变化最大的地方，即图像灰度的突变点。小波变换为图像的边缘分析提供了重要手段，它把图像信号分解成呈现不同尺度的多个分量，信号的突变点可由小波变换的过零点或极值点以及在不同尺度分量的变化来表达[12]，从而表征出信号的局部化奇异性。
设 (x,y)为2维平滑函数，将 (x,y)沿x和y
1082
中国图象图形学报 www.cji g
第16卷
方向的一阶导数作为两个基本小波函数
[13]
(1)
(x,y )= (x,y )
x
(2)
(x,y )=
(x,y )
y (3)
则对于任意图像信号f (x,y ) L 2(R 2
)，其小波变换
在尺度a(当为二进小波变换时,a 取为2j
(j Z ))上的两个分量如下:
WT (1)a f (x ,y )=f (x,y )* (1)a (x,y )WT
(2)a
f (x ,y )=f (x,y )*
(2)a
(x,y )
(4)
式(4)的矢量形式为
WT (1)a f (x,y )WT
(2)a
f (x,y )
=a
x
(f(x,y )* a (x,y )) y
(f(x,y )* a
(x,y ))
=
agrad (f (x,y )* a (x,y ))=agrad (f * a )(x,y )
(5)
梯度矢量的模和与水平轴的夹角为M a f (x,y )=
|WT (1)
a f (x,y )|2
+|WT (2)
a f (x,y )|
2
A a f(x,y )=arctan
WT (2)a f (x ,y )WT
(1)a
f (x ,y )
(6)
由梯度的定义，若梯度模在(x,y )处达到极大值，则(f * a )(x
,y )在此处具有最大的方向导数，可理解为f (x,y )在(x,y )处发生了突变，且发生突变的方向沿着梯度所指方向，从而可认为(x,y )即为图像f (x,y )的边缘点。综上,(f * a )(x
,y )上变化剧烈的点是沿着梯度方向A a f (x,y )上模M a f (x,y )为局部极大值的那些点。2.2 新模型的建立
针对P-M 模型难以去除强噪声和强边缘附近噪声,AL M 模型在处理图像时容易模糊，甚至丢失奇异点等缺点，根据小波变换模极大值的性质，将小波变换模极大值代替梯度模作为扩散函数所依赖的信息，基于这种考虑在上述两种模型的基础上提出如下的扩散模型:
I (x ,y ,t)
t =| I |d iv g (M a I (x,y )) I | I I (x,y,0)=I 0(x,y )
(7)
I (x ,y,t)
t =g (M a I )|=g (M a I )| I |div I | I |+g (M a I ) M a I x ,
M a I
y
(I x ,I y )=g (M a I )| I |d i v I | I |+g (M a I ) M a I x I x + M a I
y I y 式中,I 0(x,y )为观测图,I (x ,y ,t)为时间尺度t 下I 0(x,y )的平滑版本,M a I (x,y )为尺度a 时的小波变换模值。
分析:1)上述模型中，第1项g (M a I )| I |
d i v ( I /| I |)形式上与AL M 模型相同，但扩散速度所依赖的信息已发生改变，即用小波模极大值M a I 代替|G * I |，克服了ALM 模型容易模糊，甚至丢失奇异点的不足。因g ( )为非增函数，在图像边
缘区域M a I 取得局部极大值,g (M a I )相对较小，此时进行弱扩散以保护边缘；在平坦区域,M a I 相对较小,g(M a I )相对较大，此时进行强扩散以快速去除噪声。2)上述模型中，第2项表示输运，其输运速度为g (M a I )
M a I x , M a I
y
，在不同方向输运速度不同，在与边缘垂直方向输运速度最大，在切线方向输运速度最小，在边缘上，即M a I 的极大值点处，输运速度为零。该项对于产生激波(即数学意义上的不连续面)，保持图像边缘具有重要的作用[14]
。
2.3 提出模型的离散化
设时间步长 t ，空间变量x 与y 的步长均为h,M a I 表示尺度为a 时图像I 的小波变换模值，利用有限差分方法，采用4个方向的离散格式[7]对模型
进行离散化，则有:
I n+1
i ,j =I n
i ,j +
t
h 2| I n i ,j |[g n S S I n i ,j +g n N N I n i ,j +g n
E E I n
i ,j +g n
W W I n
i ,j ]
踏雪寻梅合唱
(8)
满足稳定性条件0
t h
2 1
4，其中S 、N 、E 和W 分别代表南、北、东和西4个方向，且有重竞技
S I n
i ,j =I n
i+1,j -I n
窗前的气球教学设计i ,j N I n
i ,j =I n
i-1,j -I n
i ,j E I n
i,j =I n
i,j+1-I n
i,j W I n
i,j =I n
i,j-1-I n
i,j
S M a I n
i ,j =M a I n
i+1,j -M a I n
i ,j N M a I n
i ,j =M a I n
i-1,j -M a I n
i,j E M a I n
i ,j =M a I n
i ,j+1-M a I n
i,j W M a I n
i ,j =M a I n
i ,j-1-M a I n
i,j
第6期
王相海等：一种小波变换模极大值的扩散模型1083
g n S
=g (| S M a I n
i ,j |)
| S I n
i ,j |g n N
=g (| N M a I n
i ,j |)| N I n
i ,j |
g n
E
=g (| E M a I n
i,j |)
|
E I n
i,j |g n
W =
g (| W M a I n
i,j |)
|
W I n i,j
| 上述模型算法实现的具体步骤如下:
1)初始化 选取大小为M N 的含噪图像I n ，并记I 0
=I n ，收敛精度为p 。选择合适的2维平滑 函数 (x,y )，由式(3)计算两个基本小波函数 (1)(x,y ), (2)
(x ,y )。
2)循环计算 n =0，执行如下过程:(1)由式(4)计算小波变换的两个分量WT (1)a I n
i ,j =I n
i ,j * (1)
a (x,y )WT (2)a I n
i ,j =I n
i ,j * (2)
a (x,y )
1 i M,1 j N
(2)通过式(6)计算相应的小波变换模值
M a I n
i ,j =
|WT (1)
a I n
i ,j |2
+|WT (2)
a I n
i ,j |2
1 i M,1 j N
(3)按照式(8)计算n +1时刻的图像
I
n+1i
,j =I n
i ,j +
t
h
2| I n i ,j |[g n
S S I n i ,j +g n
N N I n i
,j +
g n
E E I n
i ,j +g n
W W I n
i ,j ]1 i m,1 j n
(4)若|I
n +1
-I n
|>p ，置n =n +1，转向步
骤3)，否则，返回执行步骤(1)。
3)结束。
3 实验与讨论
为了验证所提出扩散模型的有效性，对P -M 模型、ALM 模型和本文模型应用于遥感图像去噪进行
仿真实验。实验是在MATLAB7.0环境下进行的。选取大小为256 256的2幅遥感图像A 和B，并对其添加均值为0、归一化方差为0.02的多种强度的高斯噪声，将3种模型应用于各种情况的含噪声遥感图像，并对其去噪效果进行比较，评价指标采用如下常用的峰值信噪比(PSNR )和归一化均方差(NS ME )。
PSNR =10 lg
牙齿模型
2552
m n m
i=1n
j=1(u *
(i ,j )-u 0
(i ,j ))
2
NM SE =
n
i=1n
j=1
(u *
(i ,j )-u 0
(i ,j))
2
n
i=1n
j=1
(u 0(i ,j))
2
式中:u *
(i ,j)是算法去噪后的图像;u 0
(i ,j)是标准
的不含噪声图像;m 和n 分别是图像的长和宽。图1和图2分别是对遥感图像A 和B 添加方差为0.02的高斯噪声
，然后采用P -M 模型、AL M 模型和本文模型进行去噪的结果比较图。
从图1和图2可以看出，采用P -M 模型处理后的图像，虽然较好地保持了边缘，但图像表面仍残留着部分难以去除的高斯噪声，一定程度上影响了视觉效果，采用AL M 模型处理后的图像，尽管去噪比较彻底并且可以保持图像的线条边缘，但纹理细节也遭到了很大的破坏，造成部分信息的丢失。而采用本文提出的模型，不但很好去除图像中的高斯噪声，而且使原图像中的大量细节和纹理得以保留。
我们对两幅遥感图像中进一步分别加入4种不同强度的高斯噪声，采用P -M 模型、AL M 模型和本文模型进行去噪，并对去噪后图像的信噪比(SNR )和归一化均方误差(NM SE )进行统计，结果参见表1和表2，其中V 表示高斯噪声方差。从统计数据可以看出，对于不同的遥感测试图像和不同强度的噪声，本文算法与P -M 模型、AL M 模型相比具有更高的峰值信噪比和归一化方差，即本文算法的客观效果更好，且算法的性能比较稳定。
图1 3种方法对遥感图像A 的去噪效果图
制砂F i g .1 Co m par ison resu lt of three different deno i s i ng m ethods for re m ote sensi ng i m age A
1084
中国图象图形学报 www.cji g
第16
卷
图2 3种不同的方法对遥感图像B 的去噪效果图
F i g .2 Compar i son result o f t hree different deno i sing m ethods f o r re m ote sensi ng i m ag e B
表1 3种去噪模型处理遥感图像A 中不同高斯噪声PSNR 和N M SE 统计
Ta b .1 Statisti cs of the PS NR a nd N MSE which three de -noisi ngmodels re move d ifferen t Gaussi an noise i n re mote sensing i m age A
模型V =0.01
V =0.02
V =0.05
V =0.1
PSNR N M SE PSNR NM SE PSNR NM SE PSNR NM SE P -M 23.820.024422.140.035820.050.058119.070.0728AL M 24.080.022922.510.032920.430.053219.340.0684本文
24.41
0.0213
22.93
0.0299
20.87
0.0481
19.74
0.0624
表2 3种去噪模型处理遥感图像B 中不同高斯噪声PSNR 和N M SE 统计
Ta b .1 Statisti cs of the PS NR a nd N MSE which three de -noisi ngmodels re move d ifferen t Gaussi an noise i n re mote sensing i m age B
模型V =0.01
V =0.02
V =0.05
V =0.1
PSNR N M SE PSNR NM SE PSNR NM SE PSNR NM SE P -M 26.390.007724.440.012221.830.022220.040.0336AL M 26.610.007324.630.011622.030.021220.290.0317本文
27.06
0.0066
25.18
0.0102
22.61
0.0186
20.87
0.0277
此外，为了进一步验证本文方法的实用性，本文选用TerraSAR -X 雷达卫星拍摄的 德国慕尼黑市中心 的实际遥感影像图，利用3种模型进行去噪处
理的效果图比较(参见图3)。可以看出本方法在去
基础教育课程改革纲要试行除噪声的彻底性和边缘及纹理细节的保护性方面都
优于其他两种模型。
图3 3种不同方法对真实遥感图像的去噪效果图
F i g .3 Compar i son resu lt of t hree different deno i sing m ethods for real re m ote sensing i m age
4 结 论
首先对非线性扩散模型进行分析，针对P -M 模
型和AL M 模型在去除图像噪声时所存在的不足，提
出一种基于小波变换模极大值的非线性扩散模型，该模型克服了传统P -M 方程难以去除强噪声和强边缘附近噪声的不足，以及AL M 模型容易破坏奇异
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