摘要
日本震后核泄露造成世界范围恐慌，通过合理建模可以有效的预测放射性气体的扩散情况，为预防核辐射提供科学指导。为解决这一问题，我们对核事故中放射性云团在大气中的扩散规律进行了研究，在高斯烟羽模型的基础上进行了改进，考虑实际过程中核素粒子的重力沉降、风速变化等因素的影响，得到了改进后的气体扩散模型--倾斜烟团模型，并给出一种迅速估算放射性核素扩散浓度的新方法。该方法可计算核事故中连续点源和瞬时点源在不同气象、地形条件下的浓度分布，与典型的高斯模型比较，其计算结果在10m的范围内总体合理，但在近源处有所偏小。经过验证，该模型具有很好的实用性，在核事故的应急救援过程中可为制定救援方案提供科学依据。
一、问题提出
推进技术 有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为p的放射性气体以匀速排出，速度为m kg/sdds信号发生器，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为s m/s. 现在，就此情况，请搜集数据，建立数学模型，回答以下问题：
1）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
2）当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。
3）当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。
4）将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对我国东海岸的影响。
二、问题分析
目前，应用于核事故应急决策系统中的大气扩散模型可分为3类，即高斯烟羽模型，拉格朗日烟团模型和三维数值计算模型。实际应用较多的为高斯烟羽模型，如直线高斯烟羽模型和变轨迹高斯烟羽模型。但是高斯模式适用于比较均匀稳定的流动条件，而且没有考虑其
他因素的影响，在实际使用时模拟结果的可靠性往往较低。烟团模型和粒子模型能克服高斯烟羽模型的局限性，在复杂条件下可以较为真实地模拟气载放射性物质在大气传输中的时空分布。由于三维数值计算模型要求较大的计算机花费较长的计算时间，在实时的核事故应急响应中往往不能满足要求。我们在考虑了实际地形、地貌对放射性污染物在大气中输运扩散的影响后，根据实时的各种风场、气候潮湿程度的预报，分析放射性粒子的沉降、放射性气体的空间分布和时间分布，通过倾斜烟团模型来预测几小时内至未来数日内的放射性核素传播的区域和数量，为核泄漏后实施各种应急计划和措施提供了科学的依据。
三、模型假设与符号假设
3.1 符号假设
——空间点处的浓度，；
——泄漏源强，；
——环境风速，；
——平均环境风速，；
——放射性物质扩散速度，；
——沉降速度，，一般含碘放射性核素的干沉积速度为=1.1；
——粒子直径，；
——重力加速度，9.8065；
——粒子密度，；
——空气的动力粘性系数，可取；
——出口直径，；
——下风向扩散系数，；
——侧风向扩散系数，；
——垂直风向扩散系数，；
——有效源高，，它等于泄漏源高度与抬升高度之和, 即=+ ∆； ——泄漏源高度，；
∆——泄漏源抬升高度，。
3.2 高斯模型基本假设
3.2.1 模型的基本表示及相应假设
图1 高斯模型示意图
高斯模型用来描述危险物质泄漏形成的非重气云扩散行为, 或描述重气云在重力作用消失后的远场扩散行为。为了便于分析, 建立如下坐标系OXYZ: 其中原点O是泄漏点在地面上的正投影，X轴沿下风向水平延伸，Y轴在水平面上垂直于X 轴，Z轴垂直向上延伸，如图1所示。高斯模型除了须满足平板模型中的一般假设外，还需要满足如下假设: ①气云在平整、无障碍物的地面上空扩散；②气云中不发生化学反应和相变反应，也不发生液滴沉降现象；③气体泄漏速率不随时间变化，即为稳定泄漏；④风向为水平方向，风速和风向不随时间、地点和高度变化，云团中心的移动速度或云羽轴向蔓延速度等于环境风速；⑤气云和环境之间无热量交换。⑥云团内部或云羽横截面上浓度、密度等参数服从高斯分布(即正态分布)。
3.2.2 高斯模型计算公式
根据高斯模型，以泄漏源为原点，风向方向为轴的空间坐标系中一点(x, y, z)处的浓度为:
（1）
(高斯模型的C语言实现可见附录1)
四、模型建立与求解
4.1 对高斯模型的修正
利用标准的高斯模型，计算大气中放射性核素云团的扩散，目前已有较多的研究，而实际的核素扩散过程还存在着粒子的干沉积(重力沉降)、湿沉积(雨洗)以及核素衰变等的因素对浓度分布的影响。因此，有必要对高斯浓度扩散模式进行修正，方可较为准确、真实地反映实际的核素扩散规律。由于地面风速对大气扩散的影响起着至关重要的作用，不同的风速其浓度计算方法有较大差异，因此，下面的分析将主要考虑风速的影响。
4.2 考虑干沉积时的连续点源扩散
粒径大于10肿的粒子有明显的重力沉降，粒子的沉降速度取决于空气阻力和重力平衡，可用斯托克斯公式表示：。
我们采用部分反射的倾斜烟云模式来计算干沉积的影响，其基本的思路是：因为在扩散过程中同时有重力沉降的位移迭加到羽流中心线上，中心线就会向下倾斜，所有粒子相当于在下倾的中心线上扩散。该类扩散和沉降的迭加可认为是羽流运行过程中，实源以的速度向下移动，在x处向下移动的高度为，即源高由降到了。实际上，由于大气湍动及其他动力作用，地面不是全吸收表面，应考虑地面的反射作用。但毕竟存在粒子的沉降作用，又不是全反射，因此，需对反射项乘以一个反射系数，由于反射项的有效源高度也变成了，故相应的浓度计算公式为：
···(3)
式(3)可得到经过干沉积作用后的浓度分布结果。式(3)中，反射系数需外部给定，，通常对于放射性核素可取0.5。在实际中，最关心的是高空污染物沉积到地面的最大浓度、离源距离和污染范围，以便制定疏散计划，确定应急安全区，而这些信息均可从式(3)的计算结果中获知。
4.3 瞬时点源的放射性物质浓度
假定有一定常的平均风速，取一固定的空间坐标系，使x轴与风向平行。在t=0时刻由原点释放的一个气团将随风飘动，并因扩散不断胀大。同理，参考部分反射倾斜烟云模式，得出瞬时点源浓度分布：
···（4）
式中，c(x,y,z,t)表示在坐标点(0,0,H)，t=0时刻瞬间排放的一个核素气团，在t=t时刻，在空
间中点(x,y,z)造成的浓度。该浓度随m的增大而增大；在同一时间内该浓度随距离增加按指数规律递减；在非原点的某定点上，浓度的变化呈现峰值。
4.4 泄漏源有效高度的确定
泄漏源有效高度是指泄漏气体形成的气云基本上变成水平状时气云中心的离地高度。在大多数问题中，泄漏源有效高度难以与泄漏源实际高度相一致。它应该等于泄漏源实际高度加泄漏源抬升高度。影响泄漏源抬升高度的因素很多，主要包括：扩散气体的初始速度和方向、初始温度、泄漏口直径、环境风速及风速随高度的变化率、环境温度以及大气温度。目前大多采用半经验公式计算抬升高度。此处采用20世纪80年代初Wilson根据管道破裂泄漏实验所得到的经验公式：∆ = 2.4，此公式适合于出口喷射方向竖直向上，喷射路径上无障碍物的情况。当泄漏后扩散的气云为液池蒸发的蒸气时，蒸气是自然向空气中扩散，可以认为气云的出口速度为零，此时无抬升高度。计算出泄漏源的抬升高度后，将泄漏源抬升高度与泄漏源实际高度相加就得到了泄漏源有效高度。
4.5 扩散系数的确定
扩散系数的大小与大气湍流结构、离地面高度、地面粗糙度、泄漏持续时间、抽样时间间隔、风速以及离开泄漏源的距离等因数有关。大气湍流结构和风速在大气稳定度中考虑。大气稳定度由10m高度上的风速、白天的太阳辐射或夜间的云量等参数决定。随着气象条件稳定度的增加，大气稳定度分为A、B、C、D、E和F六类, 其确定方法见表1。从A到F大气的稳定性依次增强。
表1 Pasquill大气稳定度的确定
地面风速 （） | 白天日照 夜间条件 |
强 中等 弱 阴天且云层薄, 天空云量 或低空云量为4/8 为3/8 |
<2 A A～B B - - 2～ 3 A～B B C E F 3～ 4 B B～C C D E 4～ 6 C C～D D D D >6 C D D D D |
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表2 日照强度的确定
鲁培军
天空云层情况 | 日照角>600 日照角≤600 日照角≤350 且>350 且>150 |
天空云量为4/8，或高空有薄云 云量5/8～ 7/8，云层高度2134～ 4877m 云量5/8～ 7/8，云层高度低于2134m | 强 中等格兰杰因果关系 弱 中等 弱 弱 弱 弱硼氢化钾 弱 |
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以上两表中的云量是指当地天空的云层覆盖率。例如, 云量为3/8 是指当地有3/8的天空有云层覆盖。日照角是指当地太阳光线与地平线之间的夹度。例如, 阳光垂直照射地面支撑 作文时的日照角为90°。
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