(八)实变与泛函的 参考书
1.陈建功的"实函数论"。今天看来这里面的内容相当古典, 但其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
2.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌的"实变函数论与泛函分析"第二版,上,下册
3.杨乐,李忠编"中国数学会六十年"里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
4.E.Hewitt, K.Stromberg "Real and Abstract Analysis"(GTM 25)里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is needed most urgently".这是很有道理的. 这个方向上扩展出去可以看
6.那汤松的"实变函数论"。在下册里面还有关于超限归纳法的描述.这本书是徐瑞云先生翻译的。另外,对于很多具体的点集的例子,有许多书可以参考,比如
7.汪林的"实分析中的反例"这是本非常非常好的书。作者是程民德先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!和一些习题集和解答,比如
8."实变函数论习题解答"。这是那汤松的书的习题解答.质量一般,不过好歹是本习题解答吧.
9."实变函数论的定理与习题",记不清是谁写的了,应该是某个苏联人。面有详细的解答,质量相当高.
10.P.R.Halmos的 "Measure Theory"(GTM 18)(中译本:测度论)的框架里面。这本书实在不敢评论,自己看吧!这本书里面还有一些精选的习题,有胆子和时间的话值得一做. 一本相当有趣的书可以看看, 就是
11.J.Oxtoby的Measure and Category(GTM2)。这里的"category"不是指代数里面的范畴,而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西。现在可以来谈谈
12.周民强的"实变函数"(第二版)写得不错,总的说来最大的好处恐怕就是习题很多, 而且都是能做的习题。有一本很好的书, 可惜至今只打过几个照面,就是:
13.程民德,邓东皋的"实分析"。我见过这书里面的一个测度的题目: $m^*(E_1cap E_2)+m^*(E1cup E_2)leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$, 还是很有趣的! 此外,上一章里面的参考书都可以搬过来。需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S的差别还是有用的.
14.I.E. Segal, R.A. Kunze的"Integrals and Operators" 和 15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin的"函数论与泛函分析初步"。这些作者应该说都是相当好的数学家了。广义测度和R-N定理更是非掌握不可的。最后问个小问题:"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间" 这句话对吗?
在直线(或者更一般的局部紧上),是有可能先建立积分理论再导出测度的.比如下面将要讲到的
16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙的"泛函分析第二教程"里面就有一些这方面的内容。此外还有象
17.夏道行,严绍宗的"实变函数与泛函分析概要(?)" 好象就是按照先积分再测度的办法讲的。另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy的"泛函分析讲义"(Lecons d‘analyse fonctionnelle)也是不错的书。对测度感兴趣的话,还可以看一些动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
19.汪林的 "泛函分析中的反例" 20.夏道行,杨亚立的"拓扑线性空间"。不过基本上是第二作者写的,所以建议有兴趣的化还是看下面几本
21.N.Bourbaki的"Topological Vector Space"Chpt. 1-5。布尔巴基写书是一章一章出的,这书能一次就包含五章,实属罕见,而且估计今后也不会有后续的内容了。GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.Schaefer的Topological Vector Spaces(GTM3) 和 23.J.L. Kelley, I.. Namioka的Linear Topological Spaces(GTM36) 里面有一章也是讲这东西的。其他许多以"泛函分析"为标题的书也是以此为出发点的,比如
24.S.K. Berberian的"lectures in Functional Analysis and Operator Theory" (GTM15)。 Berberian 也是很好的数学家,他译的Connes的"Noncommutative Geometry"是个很好的版本,尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本。或者
25.W. Rudin的"Functional Analysis" 里也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov的"Functional Analysis" 不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书, 中译本的质量也很不错. 此外还有
27..J.B. Conway的A Course in Functional Analysis"(GTM96)
28.Dunford,Schwarz的 "Linear Operators"I. 注意有些结论是可以把Banach空间减弱为Frechet空间的,不过好象据说实际应用中除了广义函数空间是个Frechet空间以外,其它用得并不多. 再补充一下前面漏掉的一本书:
29.W.Rudin "Real and Complex Ananlysis" 里面可以看到不少实分析或者说泛函方法在复变中的应用。
Hilbert空间由于其上存在一个内积, 可以发展的性质比Banach空间要多得多。从空间本身来讲,线性代数学好点对本章前面几节有很大帮助,学的过程中密切注视维数无限导致的各种反例就是了。算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些有限维的性质是可以推广到无限维的对整个体系的理解很有用。这里可以做的习题非常多,特别是
30.P.R. Halmos的A Hilbert Space Problem Book(GTM19) 算得上杰作. "The only way to learn mathematics is to do mathematics" 就出自这里。再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)。在16.里面有一章讲些基本概念。这一块的文献也是浩如烟海, 因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书, 李文和案
31.G.K. Pedersen的"C*-Algebras and their Automorphism Groups" 。 这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去。再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整个算子代数往后来的非交换几何的发展历史, 特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理的联系,可以看
32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici的 "Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes" AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski的"Noncommutative Geometry"。 马列文论AMS Notice,v.44(1997),No.7 。还有
34.Irving Segal的 Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes。 AMS Bulletin,v.33(1996),No.4 。因为
35.Alain Connes(Fields 82) 的"Noncommutative Geometry" 可以说是这一块的里程碑式的著作,(33.中甚至说今后人们会用今天看Riemann的就职演说的眼光看这本书)。所以对于这本书的评论很多,也就把整个分支都评论进去了,不妨看看。做为老前辈,Segal的书评里面有一些批评,也值得注意.
在广义函数的标题下最有名的应该是
36.I.M.Gelfand等的"广义函数"(Generalized Functions,I-V)。大概I-IV都有中译本吧!.从泛函的角度,据说是第二本最有意思。另外还有两本好书,不光是这一块内容,从整体上讲也是很好的泛函课本
37.K.Yosida(吉田耕作)的"Functional Analysis"。他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,一本比较薄,都很好.
38.H.Brezis的"Analyse Fonctionelle"。Brezis是法国科学院院士, 非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.如果能念法语的话绝对值得一读。在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容, 特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思。 |