黑龙江科学
HEILONGJIANG SCIENCE
第12卷第3期2021年2月
Vol. 12Feb. 2021
鲍勇
(北京科技大学天津学院，天津301830)
摘要：利用代入法、几何法、拉格朗日乘数法对一类条件极值问题进行求解，还可利用几何法求解平面直角坐标系中曲线上的点到 直线的最短距离问题，并将其推广到空间直角坐标系中来求解一类最短距离问题。条件极值问题有很多不同的解法，但除了拉格 朗日乘数法外，其余条件极值问题的解法往往具有局限性，而几何法从理解角度、计算层面来说都是简单易懂的，是一种可选择的 计算方法。 关键词：一类条件极值问题；求解
中图分类号：0171.2 文献标志码：A
文章编号：1674 -8646(2021)03 -0035 -03
Solution and Research of a Kind of Conditional Extremum Problem
Bao Yong
(Tianjin College ,University of Science and Technology Beijing,Tianjin 301830, China )
Abstract : Through substitution method , Geometric method and Lagrange multiplier method , the research solves the problem of a kind of conditional extremum. Through Geometric method , the research solves the problem of the shortest distance from points on curve and rectilinear in rectangular plane coordinate system ・ And through its promotion to the space rectangular coordinate system , the problem of the shortest distance of this kind is solved ・ There are a lot of different solutions in conditional extremum problem ・ However expect Lagrange multiplier method , other solutions of conditional extremum problems has their own limitations. Geometric method is simple from understanding aspect and
calculation layer ・
Key words : A kind of conditional extremum ； Solution
0引言
对于条件极值而言，一般的求解思路是化有条件
极值为无条件极值。常见的解决方法有两种⑴：一是 代入法，二是拉格朗日乘数法。第一种方法存在很大
缺陷，若约束条件是隐式的，则代入法很难进行，而第 二种方法则是通用的。本研究分析了求解条件极值的 若干方法［2T ，以此对高等数学教材中的一类条件极
值问题进行求解⑷，并对此类问题展开进一步研究。
1问题及其解法
条件极值问题模型：求函数Z =/(%』)在条件
<p(x,y) =0下的极值。
问题1：求抛物线：/ =4%上距离直线％-歹+4 =0 最近的点，并求其最短距离。
下面将利用三种方法求解问题1:
收稿日期=2020-07 -12
基金项目：北京科技大学天津学院一流课程建设项目
(YLKC201915)
作者简介：鲍 勇(1988 -)，男，硕士，讲师，E - mail : uslbby
@ 126. com o
方法1：代入法。
从约束条件(p(x,y) = 0中解出y="(%)或％ = 卩(刃，并将结果代入目标函数z =/(%』)，从而将二元 函数的条件极值问题化为一元函数的无条件极值 问题。
设(扌』)为抛物线上任意一点，则该点到直线x-y+4 =0的距离
1犷—4y + 161
4血
l(y-2)2 +121 3^= £-----------------N —-—
4血 2
即(1,2)为抛物线上距离直线最近的点，且最短距离
方法2：拉格朗日乘数法。
引入待定乘子入，构造一个新的函数，将有条件极 值问题化为无条件极值问题。
设(％』)为抛物线上任意一点，则该点到直线% -y + 4 = 0的距离d =
，为计算方便，考虑函数
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力2，故问题可转化为求函数/(%』)在约
束条件y2=4%下的最小值。
构造拉格朗日函数
L=仏一；+4尸+A(y2-4%)，解方程组
厶=(%-y+4)-4入=0
<L y--(%-y+4)+2入y=0,
,L a=y2-4%=0
得条件驻点(1,2)，由于抛物线到直线的最短距离必定存在，故该点为唯一可能的极值点.因此点(1,2)为抛物线到直线的最短距离的点，且最短距离为警。
方法3：几何法。
为研究平面直角坐标系中曲线上的点到直线的最短距离问题⑸，可先将其具体到平面直角坐标系中抛物线上的点到直线的最短距离问题，得到了以下两个结论：
定理1：设抛物线C-/=2严(p>0)到直线l-y= kx+b(k>0)的距离为d，则：①若抛物线C与直线I 相交，则最短距离d min=0；②若抛物线C与直线I不相交，则最短距离/罰〉0。
证明：将抛物线C与直线Z的方程联立，有k2x2+ 2(kb-p)x+b2=0,①当4(上方一卩)2-4-k2b2^0，即pM 2kb时，抛物线C与直线I相交，此时最短距离为交点到自身的距离，即血》=0o②当4(肋-掰-4k2b2<0，即p<2kb时，抛物线C与直线I不相交.此时
k21
,2p y-y+b
a—”
71+k2
|生(+迴二2
\2pV k)2k小
7i+k2
注意到p>0,k>0及卩<2kb，故有d M?肪-P二
孕妇死亡2k71+k2 >0，证毕。
定理2：若抛物线C-y=2px(p>0)与直线I-y= kx+b仏>0)不相交，点P为抛物线C上到直线I最短距离的点，则抛物线C上在点P处的切线必与直线I 平行。
证明：由(1)式可知，点P的坐标为(泰,¥)•由隐函数求导法及导数的几何意义可知，抛物线C上任
意一点处切线的斜率F=2，故点P处切线的斜率也
y
为％，即点p处的切线与直线z平行。因此，问题1中抛物线y=4x上与直线x-y+4=0平行的切线的切点P即为满足条件的点。设P点的坐标为(％』0)，
则点P处切线的斜率为Z=1，故(1,2)为所求的点。
y0
在定理1及定理2中，仅研究了抛物线C：y2=2px 与直线=+b方程中的参数p>0/>0的情形。由(1)式可知，以下两种情形也是成立的:①若p>0，当p<2kb，即同号时，如>0。②若P<0，当p> 2胁，即k,b异号时,dmin>°。
2问题的推广
在问题1中利用了几何法求解平面直角坐标系中
曲线上的点到直线的最短距离问题，下面将作进一步的推广研究，即利用几何法来探讨空间直角坐标系中曲面上的点到平面的最短距离问题。
分水实验小学问题2：求曲面4z=3x2+3/-2xy上的点到平面x-y-z=l的最短距离。
定理3：若曲面工:z=/(%,/)与平面II：血+By+ Cz+D=0不相交，点P为曲面Y上到平面口最短距离的点，则曲面Y上在点P处的切平面必与平面H 平行。
证明：设为曲面Y上任意一点，则该点到平面II的距离d=+，考虑函数(加+
^A2+B2+C2
By+Cz+D)2在约束条件z=/(%,/)下的最小值问题。
构造拉格朗日函数L=(Ax+By+Cz+D)2+入(/(%』)-z)，解方程组
L*=2A(Ax+By+Cz+D)+Xf x(x,y)=0
L y=2B(Ax+By+Cz+D)+",(%』)=0
Lz=2C(A%+By+Cz+D)-入=0
南瓜的力量
厶=/(%』)-z=0
可得
A r z、⑵
B
由问题的实际意义可知，点P(%0,z°)必满足
(2)式。曲面工上在点P处的法向量为n=(f x(x0,
九)，厶(％。』。)，-1)，则由(2)式可知«//(4,B,C)，证
毕。
下面将利用几何法和拉格朗日乘数法来求解问题2。
方法1：几何法。
问题2中，曲面工上与平面口平行的切平面的切点P即为满足条件的点。设P点坐标为(久0』0，勺)，而曲面》上在点P处的法向量(6久0-2y0,6y0-2x0, -4)//(1,-1,-1)，由此解得％o=y-,y0=一*，引= *，故片*，为所求的点，且最短距离为#。
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方法2：拉格朗日乘数法
设(％』忆)为曲面上任意一点，则该点到平面久-
y-z=\的距离d=1%-y-z-1I
，考虑函数(％-y-z
-1)2在约束条件4z=3%2+3y2-2xy下的最小值问题。
构造拉格朗日函数
L=(x—y—z—I)2+A(3%2+3y2—2xy_4z)，解方程组
大连民族学院学报L x=2(%-y-z-l)+入(6x-2y)=0
L y=-2(%-y-z-l)+入(6y-2%)=0
L2=-2(%—y—z-1)_4入=0
■L a=3x2+3y2-2xy-4z=0
得条件驻点一寺，*)。由于曲面到平面的最短
距离必定存在，故该点为唯一可能的极值点，因此点(*,-*,*)为曲面到平面的最短距离的点，且最短
距离为#。3结语
条件极值问题有很多不同的解法，但除了拉格朗日乘数法外，其余条件极值问题的解法往往具有局限性。通过问题1和问题2的求解方法可以看出，几何法在处理此类条件极值问题时，从理解角度、计算层面来说都是简单易懂的。在遇到平面直角坐标系或空间直角坐标系中的最短距离问题时，几何法是
一种可选择的计算方法，但应具体问题具体分析，把握正确的解题方向。
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(上接第34页)
经过多年建设，学院创新创业基地已投入使用，择优选拔专业能力、动手能力强的学生进入基地，完成教师提出的各项目模型，以参加国家、省级、区级各技能竞赛，在实践中运用所学的理论知识。学院为培养学生的创业能力，在学校内划拨一块区域作为学生创业基地，以低廉的租金为创业的学生提供创业实践机会，并有教师全程跟踪指导，做到教学、实践、创业于一体的课程建设体系。同时，加强教师队伍的创新能力培养，加强专业教师和创业导师的紧密合作交流，组建校企结合的创新创业导师指导团队。建立完善的创新创业考核标准，定期考核并启用淘汰机制，不断吸收青年教师加入人才储备库，在入职岗前培训中增加对创新创业教育思想的培养。 3.4构建企业平台实践基地
在培养新工科本科生过程中，应重点培养学生的想象力、创造力和实践能力。教师带队分批进驻企业生产车间与一线工人、工程师共同参与产品的设计、工艺流程设计和整个加工生产过程。学生不仅需要掌握理论知识，还要了解如何使用这项技能，了解产业最前沿的科技现状及企业对人才需求情况，
为就业做好充足的思想准备。学生在与教师、企业高工交流过程中不断学习最新技术和技能，理论与生产实践相结合，使学生充分体会到知识是如何运用于实践、如何在实践中创新的，学生的毕业设计课题可来自企业的相关项目。
4结语
智能制造是工业4.0提出以来对传统制造业的重大改革，对人才需求从单一向复合型发展，单一机械制造向数字化、信息化、智能化发展。高校应加快教学体制改革，对大学生创新创业教学进行深入实践研究，形成一套行之有效的适应新时期需求的智能制造专业教学体系，使学生适应时代发展步伐。校企合作培养本科生采用双导师联合培养，以企业技术难题为研究重点，充分发挥了高校和企业双方在人才、技术、设备等各方面的优势。
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