Mean Shift 概述
Mean Shift 简介
Mean Shift 这个概念最早是由Fukunaga等人[1]于1975年在一篇关于概率密度梯度函数的估计中提出来的,其最初含义正如其名,就是偏移的均值向量,在这里Mean Shift是一个名词,它指代的是一个向量,但随着Mean Shift理论的发展,Mean Shift的含义也发生了变化,如果我们说Mean Shift算法,一般是指一个迭代的步骤,即先算出当前点的偏移均值,移动该点到其偏移均值,然后以此为新的起始点,继续移动,直到满足一定的条件结束. 然而在以后的很长一段时间内Mean Shift并没有引起人们的注意,直到20年以后,也就是1995年,另外一篇关于Mean Shift的重要文献[2]才发表.在这篇重要的文献中,Yizong Cheng对基本的Mean Shift算法在以下两个方面做了推广,首先Yizong Cheng定义了一族核函数,使得随着样本与被偏移点的距离不同,其偏移量对均值偏移向量的贡献也不同,其次Yizong Cheng还设定了一个权重系数,使得不同的样本点重要性不一样,这大大扩大了Mean Shift的适用范围.另外Yizong Cheng指出了Mean Shift可能应用的领域,并给出了具体的例子.
Comaniciu等人[3][4]把Mean Shift成功的运用的特征空间的分析,在图像平滑和图像分割中Mean Shift都得到了很好的应用. Comaniciu等在文章中证明了,Mean Shift算法在满足一定条件下,一定可以收敛到最近的一个概率密度函数的稳态点,因此Mean Shift算法可以用来检测概率密度函数中存在的模态.
Comaniciu等人[5]还把非刚体的跟踪问题近似为一个Mean Shift最优化问题,使得跟踪可以实时的进行.cradle 2 the grave
在后面的几节,本文将详细的说明Mean Shift的基本思想及其扩展,其背后的物理含义,以及算法步骤,并给出理论证明.最后本文还将给出Mean Shift在聚类,图像平滑,图像分割,物体实时跟踪这几个方面的具体应用.
Mean Shift 的基本思想及其扩展
基本Mean Shift
给定d维空间中的n个样本点,i=1,…,n,在点的Mean Shift向量的基本形式定义为:
(1)
其中,2001年南充案是一个半径为h的高维球区域,满足以下关系的y点的集合,
(2)
k表示在这n个样本点中,有k个点落入出草区域中.
电极电势 我们可以看到是样本点相对于点的偏移向量,(1)式定义的Mean Shift向量就是对落入区域access2000下载中的k个样本点相对于点的偏移向量求和然后再平均.从直观上看,如果样本点从一个概率密度函数中采样得到,由于非零的概率密度梯度指向概率密度增加最大的方向,因此从平均上来说, 区域内的样本点更多的落在沿着概率密度梯度的方向.因此,对应的, Mean Shift向量应该指向概率密度梯度的方向
.
图1,Mean Shift示意图
如上图所示, 大圆圈所圈定的范围就是,小圆圈代表落入区域内的样本点,黑点就是Mean Shift的基准点,箭头表示样本点相对于基准点的偏移向量,很明显的,我们可以看出,平均的偏移向量会指向样本分布最多的区域,也就是概率密度函数的梯度方向.
扩展的Mean Shift
核函数
首先我们引进核函数的概念.
定义:代表一个d维的欧氏空间,是该空间中的一个点,用一列向量表示. 的模.表示实数域.如果一个函数存在一个剖面函数,即
(3)
并且满足:
(1)是非负的.
(2)是非增的,即如果那么.
(3)是分段连续的,并且
那么,函数就被称为核函数.
举例:在Mean Shift中,有两类核函数经常用到,他们分别是,
单位均匀核函数:
(4)
单位高斯核函数:
分量接口
(5)
这两类核函数如下图所示.
图2, (a) 单位均匀核函数 (b) 单位高斯核函数
一个核函数可以与一个均匀核函数相乘而截尾,如一个截尾的高斯核函数为,
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