摘要：基于空间能谱体匹配框架SSCMF的CT图像重建方法具有其局限性。为保证充分利用图像的非局部相似性，通过张量分解探索能谱CT图像特征，采用非局部低秩体张量分解方法，利用张量分解挖掘出高低能量通道数据之间的相关性和互补性，据其构建三阶的低秩张量体，实现更加充分的编码非局部相似性，完成高质量的图像重建。通过数字仿真和能谱数据集的验证，结果表明非局部低秩体张量分解（NLCTF）能获得比其他方法更高质量的图像。
关键词： X射线CT图像重建 能谱 张量分解 低秩张量体
一 、引言
学苑追艳录
利用能谱CT图像的非空间相似性可以挖掘出投影数据中的蕴含信息，揭示出能谱CT图像各个能量通道数据的相关性。然而，目前广泛使用的体匹配框架构建基于空间能谱体匹配框架SSCMF(Spatial Spectral Cube Matching Frame)算法仍然难以准确刻画组的稀疏和低秩性，不能很好的用于重建图像特征恢复和空间边界保护。
为进一步提高重建图像质量，在张量分解的基础上，提出一种非局部低秩体张量分解能谱CT重建方法。由张量分析理论，Tucker和CP分解是张量分解的两种主要形式。Tucker分解通过把待分解张量表示为沿着张量模的正交基和对应的核心张量的乘积；CP分解是把张量分解为一系列秩-1的Kronecker基。CP分解并不能很好的刻画沿着张量的模所张成的子空间的低秩性，Tucker分解则很难评估核心体积张量的稀疏性[1]。因此，为了避免上述问题，KBR(Kronecker Basis Representation)张量分解方法被提出并应用于多光谱图像去噪以及补全问题，并取得很好的结果[2]。
为了进一步刻画能谱图像的非局部相似性，从张量分解的角度出发提出了一种非局部低秩体张量分解(Non local Low rank Cube based Tensor Factorization NLCTF)能谱CT重建算法。通过构建基于3维块匹配张量体能够更好编码能谱CT图像的非局部相似性；分析能谱CT图像的特征并采用KBR正则项进一步探索图像的低秩性和稀疏性；构建基于张量分解的能谱CT图像重建模型，应用split-Bregman方法求解模型[3]。
二 、非局部低秩体张量分解能谱CT重建算法
基于非局部低秩体张量分解的能谱CT 重建进一步考虑了各能量通道图像之间蕴含的内在关
系和图像的非局部相似性，通过张量分解实现在迭代重建过程中去噪降伪影的目的。
2.1 KBR分解
KBR 分解利用CP 和Tucker 分解的优势的同时避免了他们的劣势，KBR 分解能够被表达如下：
(式1)
其中 是张量 采取高阶奇异值(Higher Order Singular Value Decomposition，HOSVD)获得的核心张量且与 具有相同维度。 是张量的模-n的展开， 是两项的平衡参数。式中的第一项约束用于表示张量 的Kronecker基所用的个数，与CP分解的含义保持一致。式中第二项倾向正则张量沿着不同方向展开模成分的低秩性。可以进一步看出KBR测量能够同时刻画核心张量与张量所有展开模(n=1,…,N)的低秩性。与传统的张量分解算法的CP和Tucker分解相比，KBR分解能够测量张量空间且能统一传统的稀疏测量。因此，它被提出并应用到多光谱图像去噪。
由于式1中包含了L0范数和低秩项，导致其难以求解。在实际应用中，约会荷花阅读答案KBR能够被松弛成
如下的对数形式，式1能够进一步被写成：
(式2)
式中：
(式3)
(式4)都市艳情
式3和式4是对数形式的松弛表达式，其中 是一个小的正数值， 是 的第q个奇异值。
2.2 非局部相似体匹配
对于离散二维图像来说，每个像素具有直接相邻四个不同方向的像素，这对应着图像的水平和垂直图像结构。在基于空间能谱体匹配框架的CT图像重建方法中，通过在当前张量体对应的窗口中抽取相似的空-谱像素构造4维的组用于刻画能谱CT图像的非局部相似性，水平和垂直图像结构能被很好的保护。图1展示了组构造过程。为了对能谱CT图像的非局部相似性进行充分刻画，构建的4维张量体的图像尺寸较小(也就是4×4或者6×6)。这导
致如果对构建的4维张量体组采用HOSVD将难以抽取反映图像空间信息的子空间基。特别地，在实际中，往往难以对4维图像体进行运算。
因此，基于能谱CT图像的3维低秩体被构建，如图1。具体来说，对于任一从能谱CT图像抽取的小张量体且其尺寸为 ，紧接着在当前图像体的非局部窗口抽取t个相似的张量体。抽取的
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