doi:10.3969/j.issn.1003-3106.2022.06.001
引用格式：张静，张梦雨，王栋.估计大规模MIMO-OFDM 稀疏随机信道的卡尔曼滤波[J].无线电工程,2022,52(6):925-931.[ZHANG Jing,ZHANG Mengyu,WANG Dong.Kalman Filter for Massive MIMO-OFDM Sparse Random Channel Estimation[J].Radio Engineering,2022,52(6):925-931.]
估计大规模MIMO-OFDM 稀疏随机信道的卡尔曼滤波
张㊀静，张梦雨∗，王㊀栋
(上海师范大学信息与机电工程学院，上海200234)
摘㊀要：为改善在大规模多输入多输出正交频分复用(MIMO-OFDM)系统中获取稀疏随机信道参数的精度并改善收敛速度，提出了在多测量向量条件下基于L 1范数最小化的卡尔曼滤波(KF)优化模型和算法㊂该方法将优化过程分为 2个步骤：先利用L 1范数的次梯度和伪测量做时序递推修正，再利用常规KF 修正测量误差(TKF)㊂在修正参数的L 1范数时，可利用硬阈值回溯迭代的贪婪滤波(GKF)加速收敛㊂仿真结果表明,2个算法均优于单测量向量时的Bregman 迭代算法，在较高信噪比时,GKF 的估计精度高于TKF㊂
关键词：多天线；正交频分复用；信道状态信息；压缩感知;
卡尔曼滤波中图分类号:TN929.5
文献标志码:A
开放科学(资源服务)标识码(OSID ):
文章编号:1003-3106(2022)06-0925-07
Kalman Filter for Massive MIMO-OFDM Sparse Random
Channel Estimation
ZHANG Jing,ZHANG Mengyu ∗,WANG Dong
(School of Information and Electromechanical Engineering ,Shanghai Normal University ,Shanghai 200234,China )
Abstract :In order to improve the accuracy of obtaining sparse random channel parameters in massive Multiple Input Multiple
Output Orthogonal Frequency Division Multiplexing (MIMO-OFDM )system and the convergence speed,the Kalman filter (KF )
optimization model and algorithm based on L 1norm minimization under the condition of multiple measurement vectors are proposed.This method divides the optimization process into two steps:first,the sub gradient of L 1norm and pseudo measurement are used for time
series recursive correction,and then the conventional KF is used to correct the measurement error (TKF).When modifying the L 1norm
of the parameter,the greedy filter (GKF)of hard threshold backtracking iteration can be used to accelerate the convergence.The
simulation results show that the two algorithms are superior to Bregman iterative algorithm with single measurement vector,and the
estimation accuracy of GKF is higher than TKF at high signal-to-noise ratio.
Keywords :multi-antenna;OFDM;channel state information;compressive sensing;Kalman filter
收稿日期:2022-03-15
基金项目：上海市自然科学基金面上项目(19ZR1437600)
Foundation Item:General Program of Natural Science Foundation of
Shanghai (19ZR1437600)
0㊀引言
大规模多输入多输出(MIMO)即多天线是第五代移动通信提升频谱效率㊁能量效率和传输可靠性的主要
动物乳腺生物反应器
技术之一㊂正交频分复用(OFDM)具有高传输速率和抗频率选择性衰落的优点，因而被广泛地与MIMO 相结合㊂通常，大规模MIMO-OFDM 系统的无线多径信道具有空时结构化稀疏性，采用压缩感知(CS)理论中的稀疏信号恢复算法来估计信道参数已成为主要方法[1]㊂
当信道参数为确定定常信号且呈现稀疏性时,
在OFDM 和MIMO-OFDM 系统中可设计合理的导频
图案以达到最优或近最优的估计性能[2]㊂在单观测向量(SMV)条件下，通过基扩展模型来表征复信
道衰落特性后，用贪婪类重构算法包括正交匹配追踪(OMP)及改进算法来恢复信道参数是稀疏度已知时的常见算法[3]，文献[4]提出了在稀疏度先验知识未知时的自适应匹配追踪算法(SAMP )㊂当信道参数为随机时变时，可采用稀疏卡尔曼滤波(KF)在多测量向量(MMV)条件下获取信道参数㊂在文献[5]中，把OFDM 系统中慢衰落的稀疏信道冲激
响应和脉冲噪声共同视为未知的稀疏向量，对以一阶自回归模型表示的慢时变信道进行跟踪，提出了一种联合信道和噪声的估计算法；在文献[6]中，把
MIMO-OFDM稀疏时变信道估计中的加权L1范数最小化问题转化为非线性等式约束卡尔曼滤波问题，构造了一个伪观测方程并线性化；在文献[7]中，提出了一种用于毫米波MIMO-OFDM系统的基于叠加
导频设计场景中的稀疏KF来获取信道参数；在文献[8]中，针对毫米波多天线滤波器组多载波(MIMO-FBMC)系统的双选稀疏信道估计问题，设计出基于稀疏贝叶斯学习的在线KF算法对信道跟踪㊂
由于待估计参数的真实范数未知，所示不能直接构成观测量进行修正，极大地影响了KF的收敛精度和速度，因而在MMV条件下的稀疏KF常与其他算法相结合㊂稀疏信号为平稳随机信号时，文献[9]为恢复合成孔径雷达稀疏图像，用KF算法取代OMP 算法中的最小二乘估计来得到支撑集的索引，形成了KF嵌套在贪婪算法内的算法结构；文献[10]通过构造递减的L1范数伪测量，结合稀疏KF与阈值迭代算法来恢复视频稀疏信号㊂当稀疏信号的字典矩阵或支撑集为快时变时，文献[11]提出基于贝叶斯学习的动态滤波方法；文献[12]采用2级方法来恢复时变支撑集，第1级利用快速的稀疏贝叶斯匹配追踪获得支撑集的索引，第2级使用改进的最小二乘估计和QR分解来缩小支撑集；文献[13]结合稀疏贝叶斯学习，用双卡尔曼滤波器从含噪声的传感器信号中对序列状态和参数辨识；文献[14]把稀疏KF与平滑技术相结合；文献[15]提出了一种基于稀疏约束的增广KF，将空间稀疏先验信息通过伪测量方程引入滤波模型；文献[16]量化了在估计稀疏信号和支持集中存在的测量损耗，给出了在给定信息丢失率时预测估计误差协方差的上界㊂
在MMV条件下，当多个联合稀疏向量具有公共的支撑集且为平稳向量时，可利用二阶统计量来分析㊂文献[17]为恢复超高次谐波稀疏信号，利用测量向量的自相关矩阵将MMV模型分解为多个SMV模型，再用OMP算法恢复出谐波信号，此时估计结果为各单测量时恢复信号的平均值；文献[18]将原问题转
化为选择非负的超参数的诱导高斯先验，求解在观测空间中的一组近似正则化凸优化问题，提出了一种指数梯度更新方法以降低计算量㊁存储量和收敛所需的迭代次数㊂文献[19]讨论了在稀疏向量的非零行固定时，对支撑集渐近成功恢复所需的测量个数和测量噪声方差的充要条件㊂
本文用稀疏KF方法来求解大规模MIMO-OFDM信道参数的恢复问题，将无线多径信道建模为平稳随机信道，提出基于L1范数最小化优化模型和滤波算法，设计出二步KF算法重构信号；再将KF与贪婪算法中基于回溯的硬阈值迭代算法结合，进一步改善重构精度和收敛速度㊂通过仿真对比验证了方法的性能㊂
1㊀系统模型
设一个大规模MIMO-OFDM系统具有N t根发射天线㊁N r根接收天线和K个OFDM子载波㊂记发射端天线的索引为m㊁载波的索引为k㊁子信道的有限冲激响应拍数索引为l；把第m根发射天线的发射信号用x m=[x m(0),x m(1), ,x m(K-1)]ɪK 表示，则在第k个子载波上的接收信号可表示为: y(k)=ðN t m=1H m(k)㊃x m(k)+w(k),(1)式中,H m(k),k=0,1, ,K-1表示在第m根发射天线和某根接收天线间第k个子载波上的频域衰落;w(k)是均值为0㊁方差为σ2w的加性高斯白噪声㊂
频域信道H m(k)可进一步表示为:
H
m(k)=
ðK l=0h m(l)W kl K=ðK l=0h m(l)exp(-2πj kl/K)㊂
(2)
在某一根接收天线处的接收信号矢量为:
y=ðN t m=1diag(x m)㊃(F)KˑK㊃h m+w(k),(3)式中,diag(x m)表示由发送符号矢量构成的对角矩阵;(F)KˑK表示K点傅里叶变换矩阵;h m为信道的有限冲激响应㊂
设导频图案为梳状且每个OFDM符号中有K P 个导频，用pɪ1,2, ,K
{}表示导频所在的位置并用x m(p)表示导频符号，则可得到对应在K p个导频处的接收信号矢量，它由式(3)中的y抽取K p行得到㊂因而在时刻n的测量方程为:
y(n)=Ah(n)+W(n),(4)式中,A=[X1(F)K pˑK X2(F)K pˑK X N t(F)K pˑK]为测量矩阵,AɪK pˑN t K;h(n)=[h1(n), h2(n), ,h N t]Τ为N t Kˑ1维信道矢量;W(n)为测量噪声，设其协方差矩阵为R㊂
将该传输系统的复信道衰落参数建模为:
h(n+1)=h(n)+ω(n),(5)式中,ω(n)表示过程噪声向量，设各分量统计独
立㊁方差相等并将其协方差记为Qω(n)㊂
同时，设处的发射天线排布紧密，故多根发射天线和一根接收天线之间的有限冲激响应有非常相似的路径延迟，不同收发天线对的有限冲激响应可视为共享一个时域稀疏模式，即子信道的有限冲激响应视为K拍，但仅在前L拍是多径衰落，而后K-L拍为零，同时，设多根发射天线有公共的散射体，不同发射天线和某一根接收天线之间的空域稀疏模式也相同㊂因此，分别有:
h(n)=[h1(n),0,h2(n),0, ,h N t(n),0]T,(6) supp{h1(n)}=supp{h2(n)}= =supp{h N t(n)}㊂
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(7) 2㊀L1范数最小化卡尔曼滤波
2.1㊀优化目标
设e(n)=Y(n)-Ah(n)，将大规模MIMO-OFDM稀疏信道的重构问题表示为一个基跟踪去噪优化问题的求解:
h^(n)=argmin{
h(n)ɪn
e(n)H R-1e(n)+λ h(n) 1},(8)式中，拉格朗日乘子λ为正则化参数，用于控制稀疏解的稀疏度，可以平衡误差方差和L1范数这个双重目标函数㊂
根据稀疏信号恢复的原理，在SMV条件下，若h(n)的稀疏度为S，当A满足约束等距性条件，则可在式(4)欠定且满足K Pȡ2S时准确重构出h(n)㊂常见的求解算法有Bregman迭代算法㊂
在可获得N个测量向量即MMV条件下，假定h
n=[h(n-N+1),h(n-N+2), ,h(n)]具有固定的非零行且稀疏度S保持不变，在序列递推过程中，欲从N个观测向量Y n=[y(n-N+1),y(n-N+2), ,y(n)]中恢复出h(n)，则优化问题可表示为:
h^(n)=argmin{hɪn h(n)-h^(n) 22+λ h(n) 1}㊂
(9) 2.2㊀KF-L1算法
基于KF对优化式(9)进行求解㊂首先，由于被估计稀疏信道参数的真实范数值无法观测，利用当前估计值的L1范数，建立伪观测模型:
z(n)=γ(n) h^(n) 1+v(n),(10)式中,γ(n)是为使L1范数值逐渐递减而引入的一个随机下降因子,0<γ(n)<1，为保证算法收敛,γ(n)随着n的增加逐渐增大，当nңɕ时趋近1;v(n)是第n次递推L1范数时的观测噪声，设其协方差矩阵为R v且为恒定，即R v(n)=R v㊂
接着，由于L1范数这个非线性函数不存在微分，故利用其次微分对式(10)线性化㊂对复信道衰落向量，其L1范数的次微分可以表示为:
∂ h^(n) 1
∂h^∗i(n)=
∂ðh^i(n)h^∗i(n)
∂h^i∗(n)=
h^i(n)12h^∗i(n)-12
2,
(11)式中,h^i(n)为复向量h^(n)的第i个元素；上标∗表示共轭复数㊂
sent协议由此可求得雅可比矩阵为:
C(n)=
∂ h^(n) 1
少年军校活动被写入哪部法律?∂h^1(n),
∂ h^(n) 1
∂h^2(n), ,
∂ h^(n) 1
∂h^N t L(n)
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
T
㊂
(12)
因此，可基于以式(5)为状态方程和以式(4)和式(10)为测量方程的滤波模型，设计完全KF-L1算法㊂但是，由于正则化参数λ往往未知，且L1范数的次微分一般较小，对新息的修正量很小，同时用2类测量来递推估计时，由伪测量所产生的新息和由测量方程所产生的新息对参数的修正互相耦合，会较难分辨由伪测量所产生的小量修正，导致收敛时间长且信道重构误差较大㊂
2.3㊀二步KF-L1算法(TKF)
完全KF-L1算法增广了伪测量后对L1范数和L2范数同时修正，容易使数值稳定性较差㊂事实上，式(9)这个正则化优化问题可以分割成2个优化问题:L1范数的最小化和L2范数的最小化，从而使优化问题的求解更为简单㊂
因此，本文提出将优化过程分为2步：最小化估计均方误差和最小化L1范数，采用2个依次进行的KF来获取复衰落㊂在用式(5)和式(10)构成KF的状态空间模型和测量模型后，做如下递推㊂
用式(5)对h进行一步预测，可得:
h(n+1n)=h(n),(13)并计算估计误差协方差的一步预测为:
P(n+1n)=P(n)+Q
w(n)㊂(14)再用式(10)对测量值进行一步预测，有:
z(n+1n)=γ(n+1) h(n+1n) 1㊂(15)预测后，更新状态向量为:
h1(n+1)=h(n+1n)+
β1(n)[z(n+1)- h(n+1n) 1],(16)式中,β1(n)为增益矩阵,
β1(n)=P(n)C H(n)[C(n)P(n)C H(n)+R v]-1㊂
(17)
接着，用当前的估计值作为一步预测值，再用式(4)进行第二步KF，修正测量误差，即修正增益矩阵:
β2(n )=P (n )A H (n )[A (n )P (n )A H (n )+R ]-1㊂(18)
修正当前估计值为:
h (n +1)=h 1(n +1)+β2(n )[Y (n +1)-Ah 1(n +1)]㊂
(19)
修正估计误差协方差为:
P (n +1)=P (n +1n )-β2(n )AP (n +1n )㊂
(20)
该算法的流程如算法1所示㊂
算法1:TKF 滤波算法
输入:A ,h (0),P (0),Y (n ),Q (n ),R v (n ),R (n ),γ(0),ε输出:h (n )
若h (n +
1)
1
-h (n )
1
>ε
循环计算:
①由式(13)和式(14)计算预测状态和协方差②由式(15)计算预测输出
③由式(11)计算雅可比矩阵④由式(17)计算增益矩阵
⑤由式(16)更新状态
⑥由式(18)再次计算增益矩阵⑦由式(19)修正状态
⑧由式(20)更新估计误差方差
2.4㊀贪婪卡尔曼滤波(GKF )
TKF 算法利用L 1范数的次微分来修正稀疏信
道，但并未提取稀疏信号的支撑集，导致收敛过程较慢㊂为缩短递推收敛过程，本文引入了基于回溯的迭代硬阈值(BIHT )算法来贪婪地估计支撑集㊂BIHT 算法在回溯的解码框架中，选择最可能张成编码空间的多个支撑向量张成空间㊂如果估计向量到这个空间的距离较大，则根据它们的可靠值，递增地消除和增加新的基向量，直到确定出一个充分靠近的候选支撑集合㊂
本文在TKF 算法的基础上，在用常规KF 获得了当前估计值后，利用BIHT 法来获得支撑集的索引㊂先按估计向量中各分量的绝对值降序排列，获得前S 个最大绝对值的索引，即有:
supp{h (n )}=Ω1㊂
(21)
接着，用该支撑集计算估计向量为:h ~
1(n )=H S h (n )+μn A H [Y (n )-Ah (n )]{},
(22)
式中,H S {㊃}表示保留前S 个绝对值最大的非零元素，其他元素置为零;μn 为步长下降因子㊂通过调节μn 来提高算法收敛速度，在每步递推中，令:
μn =
A H [Y (n )-Ah (n )] 2
Y (n )-Ah (n ) 2
㊂
(23)
接着到h ~
1(n )中绝对值最大的前S 个元素
的支撑集Ω2，合并2个支撑集:supp{h (n )}=Ω1ɣΩ2=Ω3,
(24)然后用新的支撑集更新估计:
h (n )=A Ω
3†
Y (n ),
(25)
再用这个新的估计值作为当前值序列递推㊂
在MMV 条件下，引入BIHT 算法的目的是更新支撑集，寻到前S 个绝对值最大的非零元素，即寻到h 中元素的L 2范数值最大的S 行㊂应用BIHT 算法时大多需要已知稀疏度，但在此信道估计问题中难以获得稀疏度先验信息，而且基跟踪去噪优化算法也不需要已知稀疏度㊂尽管贪婪算法在稀疏度未知时会挑选出错误的原子造成支撑集的误判，但是这种误判所带来的估计偏差受测量噪声的影响㊂在MMV 条件下随着伪测量的递推修正，在较高信噪比(SNR)时仍然可以得到较好的稀疏解㊂因此，考虑到通过导频设计所构成的测量矩阵的行数应大于或等于预设稀疏度的2倍，即K P ȡ2S ，故在GKF
算法中用K P /2来替代BIHT 算法中的真实稀疏度以得到实用算法㊂
该算法的流程如算法2所示㊂
算法2:GKF 滤波算法
输入:A ,h (0),P (0),Y (n ),Q (n ),R v (n ),R (n ),γ(0),ε输出:h (n )
若h (n )
1
-h (n -1)
1
>ε
①用式(4)和式(5)，按常规KF 算法得到h (n )②挑选h (n )支撑集的索引集，得到Ω1③由式(23)计算步长μn
④由式(22)计算h ~
1(n )
⑤挑选h ~
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1(n )支撑集的索引集，得到Ω2⑥由式(24)合并支撑集
⑦由式(25)更新估计h (n )
3㊀仿真结果与分析
为验证本文方法对大规模MIMO-OFDM 结构化稀疏随机信道的估计性能，通过Matlab 平台对算法性能进行蒙特卡洛仿真㊂仿真参数设置如下㊂设收发天线数均为16根，子载波数为4096个，各对收
发天线间的有限冲激响应均为前16拍，且在这
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16拍上呈现稀疏性㊂在不同时刻信道支撑集保持不变㊂设初始估计方差为单位阵，过程噪声方差σ2ω为10-6，观测噪声协方差R v为零矩阵㊂γ(n)的初始值设为0.999，并随时刻递增逐渐趋近于1，取代价函数中的λ为10，当连续2次迭代的L1范数估计值的差小于阈值ε=10-6时，算法停止迭代；导频为等间隔的梳状导频，导频符号为相移正交导频㊂记在第i次蒙特卡洛仿真中真实稀疏信道的复衰落为h(i)，其估计值为h^(i)，并设仿真总次数为ζ，定义归一化均方误差(NMSE)为:
NMSE=1
ζðζi=1 h(i)-h
^
(i) 2
h 2(i)㊂(26)
图1表示在用SMV条件下的Bregman迭代算
法和MMV条件下的KF-L1算法㊁TKF算法和GKF
算法恢复稀疏信道时,NMSE随SNR变化的性能曲
线㊂从图中可以看出，用SMV的Bregman迭代算法
在低SNR时NMSE性能较差，在SNR达到12dB之后，其NMSE性能介于TKF和GKF算法之间；在较
低SNR时,TKF具有最小的NMSE性能,KF-L1算
法和TKF算法的NMSE性能较为接近，在较高SNR
时,GKF算法的NMSE性能最优
㊂
图1㊀算法的归一化均方误差与信噪比的关系Fig.1㊀Normalized mean square error versus signal-to-noise ratio of the algorithms
从图1中还可以看出,TKF算法在SNR=9dB 时的NMSE与GKF相当，这说明此时用贪婪算法中的最小二乘法所获得的估计精度与KF的估计精度相当，最小二乘法与KF都是最优估计，但随后TKF 算法的估计精度低于GKF算法，这表明TKF算法在未获取估计参数的支撑集时，会受到非支撑集的观测列向量对估计的影响；另一方面，在SNR大于12dB后,TKF算法的NMSE大于SMV-Bregman算法，这说明当SNR充分大时使用单测量向量即可得
到较高的恢复精度，而用伪测量的TKF算法的NMSE
精度改善趋于平缓，但Bregman是定常稀疏参数的恢
复方法，它没有利用随机稀疏参数的动态特性㊂
进一步分析该现象可以得知，信道参数的最稀
疏解是最小化L0范数的解㊂由于L0范数的非凸性，通常用L1范数来简化求解过程㊂在含有噪声的观测方程下，对基跟踪去噪优化模型求解并且在SNR较低时，对观测值迭代逼近的SMV-Bregman算法无法有效地消除噪声对参数估计的影响，故性能
有限；而MMV相较于SMV提供了更多的费希尔信
息，使用MMV条件下的KF可滤除噪声并平滑估计
值，是从有噪声的观测数据中估计动态随机参数的
最佳方法，故性能有所提升，但递推估计需要的计算
量较大㊂
图2表示在SNR=9dB时,TKF算法和GKF算法重构信道的幅值及位置与真实值及位置之间的关系㊂可以
看出,2种算法在此时可以有效地确定非零元素的位置，也能较好地重构稀疏信号，但2种算法均在非支撑集位置处呈现小量误差㊂这一方面是由于没有准确的稀疏度信息而采用了基跟踪去噪模型的递推迭代算法，另一方面是测量噪声和信道模型系统噪声的影响㊂通过仿真还可得知，当SNR 增加到12dB以上后这种小量误差随之减小,2种算法都能更为准确地获取支撑集，估计参数的归一化均方误差趋于很小量㊂再有,TKF用2个KF 迭代来滤除噪声影响，而GKF算法引入贪婪算法后对L1范数失去了滤波性能，受测量噪声的影响较大，故在SNR较低时TKF算法的NMSE性能更优
㊂
图2㊀恢复信道的幅度与真实值对比
Fig.2㊀Comparison of amplitude of recovery
channel with real value
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