1. 概述
勒夫数
频率域波场正演相对于时间域数值模拟来说，有其⾃⾝的优势。⾸先，在多炮数值模拟情况下，频率域相对于时间域效率更⾼，每个频率成分的阻抗矩阵只需要计算⼀次，加⼊并⾏计算后可以极⼤地提⾼计算效率；其次，就⽅程本⾝⽽⾔，频率域的衰减项更容易添加；另外，频率域模拟⽅法是计算区域所有⽹格点上的全部时间上的频率切⽚解，误差将分配到所有参与计算的每⼀个⽹格点上，因此不存在类似时间域模拟的累计误差，可以考虑长时间的地震波数值模拟。 Lysmer和Drake⽤有限元⽅法实现了地震波的数值模拟，初次提出了频率域正演模拟 [1]。Marfurt指出频率域模拟地震波，能够⾮常有效地模拟出各向异性介质中波的传播及其衰减效应，⽽且适合⼤量炮点的同时模拟 [2]。Pratt和Worthington将频率域正演引⼊到波形反演中，应⽤常规⼆阶差分法(5点有限差分格式)对声波⽅程进⾏了离散化处理，结果表明当每个波长取⾄少13个⽹格点时，相速度误差就可以控制在1%以内，研究过程中详细推导了频率域声波⽅程和弹性波⽅程差分格式，构建了阻抗矩阵，指出频率域正演模拟适合多炮计算(每个频率成分共⽤⼀个阻抗矩阵)，便于模拟衰减效应，为频率域波场正演奠定了基础 [3]。由于频散严重和巨⼤的计算量等问题，频率域波场正演模拟没有得到⼴泛地应⽤，Jo和Shin等⼈在研究频率空间域声波波场正演模拟过程中，⾸次引⼊旋转坐标算⼦，将常规⽹格需要的5个⽹ 格点扩充到9个⽹格点，实现了频率域粘滞声波的正演模拟，频散得到了很好的压制，每个波长只需求4个⽹格就可以得到1%的精度要求，这使得频率域正演得到了极⼤地发展 [4]。Shin在Jo的基础上，由9点差分格式扩充到25点，相对提⾼了精度，这样在正演过程中单个波长内的⽹格点可以减少到2.5个，得到了理想的结果 [5]。
进⼊21世纪后，频率域正演⽅法上有了更⼤的提⾼。Min等⼈在Shin和Sohn研究的基础上做了进⼀步的研究，⾸先提出了⼀种新的25点有限差分加权最优化差分算⼦，通过Gauss-Newton法求出最优化加权系数，最后将频率空间域弹性波正演结果和⽅程的解析解进⾏了对⽐，从结果看出，利⽤新的差分算⼦计算的结果对于复杂介质来说结果⽐较理想，随后他⼜优化了25点算⼦的频散系数，通过最优化原理确定了新的加权系数，频散效应得到了更⼤限度的压制，并且减少了单位波长内所需的⽹格点数 [6]。⾼精度的时间域正演⾮常依赖于交错⽹格法，⽽频率域⽅法主要是基于混合⽹格法，Hustedt等⼈研究对⽐了频率域地震波模拟中交错⽹格法和混合⽹格法，指出对于⼆维模拟来说，交错⽹格法在内存需求和计算效率远不及混合⽹格法 [7]。Xu等从CPU计算时间、内存需求和硬盘读写速度三个⽅⾯研究了频率域声波模拟结果，并对⽐了LU分解和迭代法的优劣 [8]。
频域地震波数值模拟需要求解⼀个⼤型稀疏矩阵⽅程，该矩阵的带宽取决于正演算法(有限差分⽅法)，由于该矩阵具有⾼稀疏化、⾮对称性以及⾮正定性的特点，这些增加了求解的难度 [9] [10]。⼤型稀疏矩阵的求解⽅法分为直接法和迭代法。直接法中应⽤较为普遍的是LU分解⽅法，对于⼆维模型
来说，LU分解能够得到数值解，多炮情况下计算效率⾼，但是直接法对内存的需求较⼤。迭代法对内存的需求⼩，但是并⾏计算效率不如直接法。这⾥我们⾸先简要叙述了地震波频率域模拟⽅法的发展及研究现状，继⽽论述了有限差分数值模拟⽅法的基本原理，研究了频率域声波⽅程的最优化9点差分格式的隐式表达⽅式和稀疏矩阵的求解，最后通过正演算例验证了⽅法技术的准确性和有效性。
2. 频率域声波⽅程
时间域声波⽅程为：
∂
2
u
(
x
,
z
,
t
)
2 u ( x , z , t )∂z 2−1 v ( x , z ) 2∂2 u ( x , z ,
=
−
f
(
x
,
z
,
t
)
式中的v是介质的传播相速度，⾮均匀介质中为空间位置的函数，f为震源函数，正演的时候通常选⽤雷克⼦波。将上式变换到频率域，即对t做傅⾥叶变换，
u
(
x
,
y
,
t
) 变为
u
(
x
,
y
,
ω
) ，
f
t
) 变为
护士条例解读f
(
x
,
y
,
ω
) 。便有了下⾯的声波⽅程：∂
2
u
(
x
,
z
,
ω
)
∂
x
2
+
∂
2
u
(
x
∂
桦南孕妇猎艳杀人案z
2
−
ω
桂枝二陈汤
2
v
2
u
(
x
,cad二次开发
z
,
ω
)
=
−
f
(
x
,
z
,
ω
)
3. 波动⽅程正演模拟
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有限差分数值模拟⽅法的原理是以离散代替连续，以差分代替微分，从⽽将波动⽅程差分化，这样就将⼀个微分问题转化为离散的数学问题[11] [12] [13]。⾸先，将研究区域进⾏⽹格剖分；其次，采⽤有限差分算⼦将连续性⽅程在每个⽹格点处离散化；最后，求解差分离散后得到的差分⽅程组，得到每个⽹格点处解的近似值。这⾥我们采⽤Jo和Shin等⼈提出的最优化9点差分格式进⾏计算。根据最优化9点差分
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