【专题说明】
初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决 【方法技巧】
类型一：一动一定型
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如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值。通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．类型二：两动一定型
如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小．
解题思路：
一：
第一步：作点M关于AC的对称点M；
第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；
二证：证明MP+PN的最小值为M′N．
类型三：一定两动型（胡不归问题）
“胡不归”问题即点P 在直线l 上运动时的“PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ”型
最值问题.
报道性摘要问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P 为∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点 A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB ”的值最小时，点P 的位置如何确定？
解题思路：
过点P 作PQ⊥BN 于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，
∴可将求“PA＋k·PB ”的最小值转化为求“PA＋PQ ”的最小值( 如图②)，∴当A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小( 如图③)，此时AQ⊥BN .
【典例分析】
【典例1】模型分析
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问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小．
解题思路：
一：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；
二证：证明AP是点A到直线l的最短距离．
请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：如图所示：
∵AP⊥l于点P，
∴AP是点A到直线l的最短距离．
【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，
连接BP．
（1）线段BP的最小值为；
（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为．
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【答案】（1）2（2）gtss
【解答】（1）当BP⊥AC时，BP取最小值，
∵AC＝8，∠BAC＝30°，谢宁方法
∴AB＝AC•cos30°＝4，
∴BP最小＝AB•sin30°＝2；
故答案为：2；
（2）根据题意，作图如下：
∵四边形APBQ是平行四边形，
∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，
∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值，
∴OP＝AO•sin30°＝，
∴PQ的最小值为．
故答案为：．
【变式1-2】如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面
积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．
【答案】
【解答】解：设∠C＝n°，
∵Rt△ABC与⊙C重合的面积为，
∴＝，
解得n＝60，
即∠C＝60°，
∵Rt△ABC斜边AC的长为4，∠C＝60°，
∴BC＝AC＝2，
连接CQ，CP，如图，
∵PQ为⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴∠CQP＝90°，
∴PQ＝＝，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵当CP⊥AB时，CP最短，此时CP＝CB＝2，
∴PQ的最小值为＝．
故答案为：．
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为．
【答案】
【解答】解：取PQ的中点O，过O点作OD⊥AC于D，过B点作BH⊥AC于H，连接OB，如图，
在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵BH•AC＝AB•CB，
∴BH＝＝，
∵∠PBQ＝90°，
∴PQ为⊙O的直径，
∵⊙O与AC相切，OD⊥AC，
∴OD为⊙O的半径，
∵OB+OD≥BH（当且仅当D点与重合时取等号），
∴OB+OD的最小值为BH的长，
即⊙O的直径的最小值为，
∴线段PQ的最小值为．
故答案为：．
【典例2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．
【答案】4
【解答】解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点，
∴CD是∠ACB的平分线，
∴点N关于CD的对称N′在AC上，
过点B作BH⊥AC于点H．
∵AC＝6，S△ABC＝12，
∴×6•BH＝12，
解得BH＝4，
∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，
∴BM+MN的最小值为4．
故答案为：4．
【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC 于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为．
【答案】
【解答】解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，
设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42，
∴x＝，
∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4，
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