规划（蒙特卡洛法）
边界效应整数线性规划求解----分枝定界法
什么是整数规划?
糖水不等式线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划的分类
- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划
- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划
什么是分枝定界法
原理如下：
设有最⼤化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ，分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^* 本质就是个分治回溯，逼近最⼤值的算法。Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~） % c,A,Aeq,Beq,LB,UB，是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，
% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值
function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)
ret = 0;
[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值
if fval < now
y = fval;
return;
end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now，那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)
if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0，则表⽰是⼩数。遍历x，到第⼀个⼩数xi.政治体制改革的目标
天指神功
NUB = UB;张远忠
NLB = LB;
NUB(i) = floor(x(i)); % 把xi对应的上界更新为xi的向下取整。
NLB(i) = ceil(x(i)); % 把xi对应的下界更新为xi的向上取整。
fval1 = control(c,A,Aeq,Beq,LB,NUB,now); %分成了两个区间，原来下界~向下取整
now = max(fval1,now);
fval2 = control(c,A,Aeq,Beq,NLB,UB,now); % 向上取整~原来上届
ret = max(ret,fval1); % 更新得到整数最优解，并退出。
ret = max(ret,fval2);
break
end
if i == length(x) %如果每个xi都是整数，直接退出
y = ret;
return ;
end
end
if j == length(x)+1 %如果当前已经是整数最优，返回fval，否则返回ret。
y = fval;
end
end
⾮线性整数规划--蒙特卡洛算法（随机取样法）
什么是⾮线性规划？
就是⾃变量不再是线性的规划。没错就是这个。
蒙特卡洛算法
对于⾮线性整数规划⽬前尚未有⼀种成熟⽽准确的求解⽅法，那么到⼀个相对满意的解就成了主要需求。
蒙特卡洛算法是⼀种⼤量随机取样枚举解，以达到存在⼀种解，其函数值落在了我们期望的⾼值区（不要问我什么是⾼值区）。
那么具体多少次枚举合适呢？这是相对于问题⽽⾔的，举个例⼦：
0\leq x_i \leq 99 ，1 \leq i \leq 5, y = x_1^2 + x_2^2+3x_3^2+4x_4^2+2x_5^2-8x_1-2x_2-3x_3-x_4-2
x_5 ,
解空间⼤⼩为100^5 = 10^{10}，太⼤了，枚举不了
如果选择随机采样1e6，假设最优点不是孤⽴的奇点，并设⽬标函数落在可以接受的⾼值区的概率是0.00001，那么存在⼀个点落在⾼值区的概率为 1-0.99999^{1000000}\approx 0.999954602，显然这个概率是可以接受的，也即是我们认为通过随机采样1e6，是能够得到满⾜期望的解。
随机采样的算法就不写了，因为太懒了（因为不会）。
今⽇感触：matlab的库函数是真的多，基础语法还是不⾏啊，以及数模的算法还挺有意思的，虽然⾼⼤上，其实也就那样。
-----9.10 更新
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cnn规划问题还是⽤lingo吧，太⽅便了。
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