高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；
1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)
中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。我们称这个函数中任何两个函数在
[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：
nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ （3.2) 那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。 1．权函数的概念
定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质：
(1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]，
(2) 积分dx x x n b a )(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)， (3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=b
a dx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有：
1)(],1,1[],[=-=x b a ρ； 211
)(],1,1[],[x x b a -=-=ρ
x e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ
2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ
等等。
正交性的概念
定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若 ⎰==b
a dx x g x f x g f 0)()()(),(ρ 则称f (x )与g (x )在[a ,
b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件 ())
(),1,0,(,0,0)(),((是常数k k k j A k j k j A k j x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ
则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。若定义3.4中的函数系为多项式函数系{} )(),(10x p x p ，则称{})(x p k 为以ρ (x )为权的在[a , b ]上的正交多项式系。并称p n (x )是[a , b ]上带权ρ (x )的n 次正交多项式。
例1 验证多项式：31,,12-x x 在]1,1[-上带权ρ (x ) = 1两两正交。
解 容易验证
⎰-=⋅1101xdx ⎰-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅1120311dx x ⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅11113203131dx x x dx x x 而
胸骨⎰->11201dx ⎰->1120dx x
⎰->⎪⎭⎫ ⎝⎛-11
22031dx x 由定义3.4，结论成立。
有了以上的基本概念，下面我们介绍几个常用的正交多项式。
二、常用的正交多项式
1．切比雪夫(чебыщев)多项式
切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的重要工具，并且有广泛的应用。
定义3.5 称多项式 )2,1,0,11( )cos arrc cos()( =≤≤-=n x x n x T n (3.3) 为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。
切比雪夫多项式T n (x )具有以下性质：
(1) 正交性：
由{ T n (x )}所组成的序列{ T n (x )}是在区间[-1, 1]上带权
211
)(x x -=ρ
的正交多项式序列。
且
⎪⎪⎩⎪⎪复华实业
⎨⎧==≠=≠=-⎰-0
,0,2
,0)()(11112n m n m n
m dx x T x T x n m ππ
(3.4) 证 因为)arccos cos()(x n x T n =，
令 θc o s =x ， 则θn x T n cos )(=，
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于是
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧==≠=≠==-=-⎰⎰⎰-0
,0
,2,0c o s c o s )s i n (c o s c o s s i n 1
卡波940)()(11
00112n m n m n
m d n m d n m dx x T x T x n m ππθθθθ
θθθθππ
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：
⎩⎨⎧=-⋅===-+),2,1()()(2)()(,1)(1110 n x T x T x x T x
x T x T n n n
(3.5) 证 显然，n = 0时，1;1)(0==n x T 时，x x T =)(1
当n ≥1时，令x = cos θ ，则θn x T n cos )(=
由三角恒等式
θθθθcos cos 2)1cos()1cos(n n n =-++
即得
211)(2)()(x T x x T x T n n n ⋅=+-+
移项就得上述递推关系(3.5)。
由三项递推关系式可依次写出如下常用的前面几个切比雪夫多项式的表达式：
。
132160256128)(,75611264)(,
1184832)(,
52016)(,
188)(,
34)(,
12)(,
)(,
1)(2468835772466355244332210+-+-=-+-=-+-=+-=+-=-=-===x x x x x T x x x x x T x x x x T x x x x T x x x T x x x T x x T x x T x T
可见T n (x )也是普通的n 次多项式。
(3) 奇偶性：
切比雪夫多项式T n (x )，当n 为奇数时为奇函数；n 为偶数时为偶函数。这是因为
)()1()cos arc cos()1()cos car cos()]arccos(cos[)(x T x n x n n x n x T n n n n -=-=-=-=-π
(4) T n (x )在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点
),,2,1(,2)12(cos n k n k x k =-=π。 证 由于 θn x T n c o s )(=
令
0)(=x T n 有 ),,2,1(2/n k k n =-=ππθ
所以在区间0≤θ ≤π 上有n 个值
n
k k 2)12(πθ-= 使 0c o s
=k n θ 即θn cos 在[0,π]中有n 个不同的零点，且由于T n (x )是n 次多项式，所以至多有n 个零点，现已到n 个不同的零点，则每一个x k 都是T n (x )的单重零点。
显然，T n (x )在[-1, 1]中的零点都是实的、互异的，且全部在[-1, 1]内。
(5) T n (x ) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点 ),,2,1,0(cos n k n k x k =='π
使T n (x )轮流取得最大值1和最小值-1。
工业经济证 因为在区间0≤θ ≤π 上有n + 1个点 ),,2,1,0(22n k n k n k k ==='π
π
θ
使cos n θ 顺次取+1及-1，因此，n + 1个点 ),,2,1,0(cos cos n k n k x k k =='='πθ 使T n (x )顺次为+1及-1，即
),,2,1,0(,)1(cos cos )(n k k n
k n x T k k n =-==='ππ 由于cos n θ 之最大值是+1，最小值是-1，因此，我们把这n + 1个点k
x '叫做T n (x )在[-1, +1]上的极值点，也称它为T n (x )的交错点组。这是切比雪夫多项式的一个重要性质。泛裸体
如果将T n (x )的零点x k 和极值点k x '按大小排列，则有
1101111='<<'<<<'<<'=---x x x x x x x n n n n
(6)切比雪夫多项式的极值性质
显然，由三项递推关系式容易验证T n (x )的最高次项系数为2n -1 (n = 1, 2, …)。
譬如 T 1(x ) = x ， 最高次项系数为21-1， T 2(x ) = 2x 2 –1，最高次项系数为22-1。 由三项递推关系可看到，每升高一次幂要乘2，则 )(2
1)(~1x T x T n n n -= 是一个首项系数为1的n 次多项式，又由性质(5)知)(~x T n 在点 ),,2,1,0(cos n k n k x k =='π
顺次达到它在[-1, 1]上的极值12
/1-±n 即 12
)1()(~--='n k k n x T 若用H n (x )表示首项系数为1的n 次多项式的全体，则有
定理3.1 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n 次多项式H n (x )中 )(21)(~1x T x T n n n -=
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