毛虎平;王伟能;续彦芳;张艳岗;董小瑞
【摘 要】为了进一步探索Chebyshev时间谱元法求解非线性的振动问题，从Bubnov-Galerkin方法出发，在第二类Chebyshev正交多项式极点处；用重心Lagrange插值来构造节点基函数及其特性，推导了非线性振动问题的伽辽金谱元离散方案，借助Newton-Raphson法求解非线性方程组。对于非线性单摆，还需要将二分法和重心Lagrange插值结合求解角频率。以Duffing型非线性振动和非线性单摆振动问题为例，验证了此方法具有现实可行和高精度的优点。%The solution of nonlinear vibration problems was studied by using Chebyshev spectral elements method. The node-based functions were constructed by barycentric Lagrange interpolation at the pole points of Chebyshev orthogo-nal polynomials of the 2nd kind which characteristics were analyzed by using Bubnov-Galerkin method. Galerkin discretiza-tion scheme for the nonlinear vibration problems was derived. Finally, the nonlinear equations were solved by Newton-Raph-son method. For nonlinear single pendulums, the angular frequencies were solved using the combination of the dichotomy wi th the barycentric Lagrange interpolation. Two examples of Duffing-type vibration equations and nonlinear vibration of pendulums were employed to illustrate the feasibility and advantages of high-precision of the proposed method.
【期刊名称】《噪声与振动控制》
【年(卷),期】2015(000)001
【总页数】5页(P73-77)
【关键词】振动与波;非线性振动;切比雪夫正交多项式;谱元法;牛顿-拉夫逊方法
【作 者】毛虎平;王伟能;续彦芳;张艳岗;董小瑞
【作者单位】中北大学 机械与动力工程学院，太原 030051;煤科集团杭州环保研究院有限公司，杭州 311201;中北大学 机械与动力工程学院，太原 030051;中北大学 机械与动力工程学院，太原 030051;中北大学 机械与动力工程学院，太原 030051
【正文语种】中 文
【中图分类】TB53;TH113.l
尽管许多工程问题可以用线性振动近似，但还是有很多工程振动需要考虑非线性。例如，大角度单摆、振动输送机、换热器直管、叶轮机叶片、高弹联轴节轴系、高速列车行驶时气体的阻力及材料产生弹塑性变形构成的振动系统等[1—3]，均需通过非线性微分方程进行分析。非线性振动不符合叠加原理，通常应用数值方法进行分析。
Steven Orszag[4]于1969年提出了谱方法[5,6]之后，给研究者所关注的高精度数值分析带来希望，然而其不能处理复杂设计域、不能近似非光滑函数等缺点[7]限制了其发展。考虑到谱方法的高精度以及指数收敛和有限元方法处理边界灵活的特性，学者Patera于1984年提出了谱元法，通过在Gauss-Lobatto-Legendre（GLL）点处Lagrange插值来构造节点基函数，并应用于流体动力学数值分析[8]。30多年来，由于谱元法的高精度和快速收敛的特点得到了极大关注，并被成功应用于科学和工程的很多领域[9-11]。在动态响应优化中，谱元法精确求解动力学控制方程结合高斯—勒让德—罗巴托（GLL）点以满足动态约束条件，获得更好优化的解[12]。在机械故障诊断中，用谱元法模拟带裂纹的三维板结构的导波激励与接受以及波的传播[13]。将仿真时间分为若干步，采用逐步时间谱元法[14]仿真三 核心交换机
维悬臂梁，获得与ANSYS仿真一致的结果，而效率高于ANSYS。文献[15]将谱元离散方案应用于结构动态应力关键时间点识别。Zhao J M[16]采用Chebyshev最小二乘谱元法详细分析并求解了半透明介质的辐射传热。林伟军[17]应用Modal basis谱元法详细阐述了弹性波传播模拟的理论公式，并应用Chebyshev正交多项式展开。彭海阔等[18]通过Legengre谱元法模拟结构弹性波的传播。秦国良等[19]提出了时空藕合谱元方法，并将其用于带第一类边界条件的非齐次一维、二维、三维波动方程的求解。Bar-Yoseph P Z等对非线性一维对流问题、非线性Euler-Bernoulli梁从时—空耦合以及对非线性动力系统应用谱元法进行分析[20—22]。
本文通过在Chebyshev正交多项式极点处重心Lagrange插值构造节点基函数，提出求解非线性振动问题的Chebyshev谱元法。
谱元近似融合了谱近似和有限元近似的优点，谱元近似可以自由选择插值次数，获得p收敛，而有限元近似可以柔性地处理复杂设计域并自由地选择单元尺寸，获得h收敛。所谓谱元是正交多项式光滑函数的有限级数。由于数值求解非线性振动问题是以线性振动问题为基础。因此，首先对线性振动问题进行分析。
1.1 振动问题及其积分形式
考虑振动问题的一般形式
其中Ar为关联矩阵，关联着质量、阻尼和刚度，并假设与时间t无关，x，f是时间t的函数。
在切比雪夫谱元法中，为了得到振动问题的数值解，运用Bubnov-Galerkin法，引入一个权函数W，与方程（1）两边同时相乘并在时间域上积分，得到了振动问题的积分形式
其中T表示时间域。
1.2 时间单元划分
作为一种有限元方法，解空间Ω被划分为Ne个互相不重叠的单元空间，即
谱元法通过在每一个单元Ωe中进行谱扩展来近似一个函数。
将单元节点基函数作为形函数，在单元Ωe上，振动位移可以近似为
其中表示单元Ωe上的振动位移近似函数，表示单元Ωe上第i个节点的位移值表示定义在单
元Ωe上的重心Lagrange插值节点基函数，Nesol表示每一个单元解节点的个数。
1.3 振动微分方程离散
本研究中，采用切比雪夫第二类多项式来构造节点基函数。在标准区间[-1，1]上，N阶节点基函数可以表示为拉格朗日插值多项式，其通过N+1个Chebyshev-Gauss-Lobatto点，也就是
应用重心插值公式，节点基函数可以表示为
图1中显示了节点基函数的科罗尼克δ的特性，这就保证了公式（4）中扩展系数与节点值一致，并且保证施加边界条件。
为了获得一般单元Ωe的节点基函数，需要进行节点坐标转化。那么节点基函数在标准单元Ωst和一般单元Ωe中的关系可以表示为
其中t=t(ξ)定义坐标从一般单元Ωe到标准单元Ωst的转化，∇t是关于t的梯度操作算子，∇ξ是关于ξ的梯度操作算子，J是雅可比矩阵是定义在标准单元Ωst上的节点基函数。
在本研究中，一维坐标转化可以表示为
其中对于一维问题来说，雅可比矩阵J为常数
好汉三条半下载将式（4）代入式（2），权函数为然后在整个时间域上积分，可以获得
当权函数为谱元近似节点基函数时，即称为伽辽金谱元法；当权函数为振动
男生女生金版txt
微分方程左面的表达式，称为最小二乘谱元法。本研究采用伽辽金谱元法。将φj作为权函数代入式（10），转化为线性方程组，获得
矩阵A、B、D通过Gauss-Chebyshev-Lobatto求积公式获得。
1.4 边界条件施加并求解
速度初始条件，将K的第一行和第一列除了第一个元素外都强制等于零，对应的F中第一个元素强制等于速度初值；位移初始条件，将K的第(N+1)行和第(N+1)列除了第(N+1,N+1)个元素外都强制等于零，对应F中第(N+1)个元素强制等于位移初值。线性方程组式（11）可以直接求解。
对于非线性振动问题中的非线性项，先直接求微分，再加入到线性振动问题的离散公式中，将其转化为牛顿—拉夫逊迭代格式进行迭代求解。
人民公社好对于非线性方程组
其中X(t)—n维解向量，—n维函数向量。
考虑函数F:ℝn→ℝn，其中
身毒丸那么F(x1,x2,…,xn)的雅可比矩阵为
Newton-Raphson迭代公式表示为
其中ΔX=Xi+1-Xi。
Duffing型非线性振动方程可以写为
其中ε,F是给定的常数，ω是外载荷的频率，也是常数。
近似解析解为
从图2、图3可以看出，本文方法获得解与近似精确解非常吻合。
单摆的非线性振动方程可以表达为
其中g为重力加速度，l为摆长，θ为摆角。初始条件为
采用单元数10，插值次数6，通过伽辽金离散方案得到非线性方程组，利用Newton-Raphson法求解，当初始摆角时，获得如图4所示的摆角、角速度和角加速度，并且与ODE 45求解器计算结果比较，很好的吻合。
国电物资商务网求出位移响应θ(t)，可以获得两个时间点ti，tj，满足θ(ti)>0，θ(tj)<0且ti<tj，在区间[ti,tj]上重心Lagrange插值，然后采用二分法求解θ(t)=0，获得了tθ=0，那么某一初始摆角的非线性单摆振动的周期T=4tθ=0，然后再和线性单摆振动的周期相比获得表1所示，并与精确解、2阶摄动解以及DQ法进行比较。
从表1可看出，初始摆角θ0<135°时，本文方法可以获得最大的绝对误差0.01%，而2阶摄动解最大的绝对误差为6.1%，DQ法最大的绝对误差为0.02%。当θ0=150°时，本文方法获得最大的绝对误差为1.16%，而2阶摄动解最大的绝对误差为15.85%，DQ法最大的绝对误
差为1.25%。
(1)采用重心Lagrange插值近似单元未知函数，可以获得精确单元插值微分矩阵，通过有限元节点共享特性可以获得全局插值微分矩阵，最后获得非线性代数方程组；
(2)结合Newton-Raphson法，可以同时获得非线性振动问题的位移和速度，进而通过微分方程中加速度与位移和速度的关系求出加速度；
(3)对于非线性单摆振动，求出角位移后，结合二分法可以精确求出不同初始摆角时的角频率，并与其他方法比较，说明本文方法精度最高。
【相关文献】
[1]闻邦椿，李以农，徐培民，等.工程非线性振动[M].北京：科学出版社，2007.
[2]李安军，邢桂菊，周丽雯.换热器直管非线性振动分析与控制[J].噪声与振动控制，2007，27(5)：50-53.
[3]唐驾时，彭海.阻尼对叶片非线性振动的影响[J].噪声与振动控制，2013，33(5)：15-18.
[4]Orszag S A.Numerical methods for the simulation of turbulence[J].Physics of Fluids(1958-1988),2004,12(12): II-250-II-257.
[5]Guo B.Spectral methods and their applications[M].World Scientific,1998.
[6]Boyd J P.Chebyshev and Fourier spectral methods[M]. Courier Dover Publications,2013.
[7]Valenciano J,Chaplain M A J.A laguerre-legendre spectral-element method for the solution of partial differential equations on infinite domains:Application to the diffusion of tumour angiogenesis factors[J].Mathematical and Computer Modelling,2005,41(10):1171-1192.
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议