作者：七君
玩具兵大战3
来源：《电脑报》2021年第01期
大家对瓷砖应该很熟悉，瓷砖多是三角形、四边形和六边形，很少有其他形状的。那么，能够铺满任意平面的瓷砖是不是只有这些形状呢？这个问题自古希腊时代就吸引着数学家们。在数学领域中就有专门研究能够铺满整个平面而不留空隙的地砖图形的分支——密铺。 许多人不知道的是，一位只有高中学历的家庭妇女Marjorie Rice，却在天命之年为这个数学分支做出了重要的贡献，美国数学学会（MAA）甚至用她发现的密铺图形铺地砖。一起來看看这位传奇的女士的故事吧。钻机转盘
周荣汉 1923年，Marjorie Rice 出生在美国佛罗里达州的一个普通农户家庭里。在上中学时，她跳了两级。后来在高中时期，她选了文秘方向，只修了一门数学课，因为在当时，女孩子只能选一门数学课。而由于时代对女性的限制以及家庭的贫困，她没有上大学。高中毕业后不久，她嫁人生子，成了一名家庭主妇。
时间推进到1975年。那时，Marjorie Rice已经52岁，她的5个孩子大部分已经成年， Marjorie Rice 有了更多闲暇时间。而因为小儿子爱好科学，Marjorie Rice 就为他订阅了科普杂志《科学美国人》。爱好自然科学的她也经常第一时间拿来翻阅，并成了《科学美国
人》的著名数学科普作者Martin Gardner的数学专栏的迷妹。
没想到，那一年的两期《科学美国人》成了Marjorie Rice和密铺研究的一个分水岭。1975年7月，Martin Gardner 发表了一篇文章《On tessellating the plane with convex polygon tiles》，介绍了密铺方面的最新进展。
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在了解这些进展之前，先来了解一下数学家们在研究密铺的什么性质。
首先小学生都可以很容易理解，任何三角形都可以沿着一边旋转180度，双双配对，然后把整个平面铺满。再拓展一下，任意四边形，不管是凸的还是凹的，也可以用同样的方式铺满一个平面。但是，这个结论不能扩展到五边形，比如正五边形就不行。
那么是不是所有五边形都不行呢？1918年，德国数学家 Karl Reinhardt 在他的博士毕业论文中证明，有5类五边形可以铺满整个平面。
文章乃经国之大业
Karl Reinhardt 还发现，只要五边形的边和内角满足一定的条件，就可以铺满一个平面。第1类能密铺的凸五边形很容易理解：只要有任何两条边平行，那么这个五边形就可以密铺。五月卅一日急雨中
Karl Reinhardt 还指出，凸七边形以及边数超过7的凹多边形无论如何都无法对平面实现密铺。可是，Karl Reinhardt 并不知道自己到的5类五边形是否完备，也就是说，是否所有能密铺的凸五边形就只有这5类。这个问题也就这样被搁置了50年。
1968年，约翰霍普金斯大学的数学家 Richard Kershner 发现了新的3类凸五边形。这
3类五边形要实现密铺，必须要成双成对。
Kershner 认为，能密铺的五边形就这么8类，不能更多了，并在论文中加了一句话：“证明过程太复杂，以后再单独证明。”Kershner 虽然没有给出完整的证明，但是他的观点却借由Gardner的专栏被世人所知。
这篇文章刊出后不久，业余数学家 Richard James III 写了一封信给 Gardner，告诉他有第9类可以密铺的五边形。他是从阿基米德地砖（Archimedean tiling）中到了灵感。实际上，阿基米德地砖中的八边形可以等分为4个五边形。八边形稍微排列一下，就可以在空隙中塞入这种五边形。显然，这种五边形可以实现密铺。
要注意的是，这种五边形有两条平行边，因此属于第1类凸五边形，不算新的。但是James III 巧妙地对八边形的四分切割进行了调整，让切割的“十”字微微倾斜，使切出来的五边形的任意两条边不再平行。这么一来，就出现了第9类凸五边形。
这种新的五边形需要3个一组才能实现密铺，用数学家的行话来说，这种五边形属于 3-block tiling（3块密铺）。于是在1975年12月的《科学美国人》上，Gardner 把这位读者
的发现刊登了出来。后来在20世纪90年代，俄亥俄州立大学数学系的教授 Henry Glover 和 J. Philip Huneke 用这第9类凸五边形装饰了数学系6楼的地板。
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