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地统计学泛克里金法的原理及其应用

泛克里金法的原理及其应用
1引言
普通克里金法要求区域化变量是二阶平稳或内蕴的，至少是准二阶平稳或准内蕴的。在此条件下，至少在估计邻域内有（常数）。然而实际中，许多区域化变量在估计邻域内是非平稳的，即，这时就不能用普通克里金方法进行估计了，而是要采用泛克里金法进行估计。
2泛克里金法原理
2.1泛克里金法的定义
所谓泛克里金法，就是在漂移的形式，和非平稳随机函数的协方差函数或变异函数为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。
2.2漂移和涨落
2.2.1漂移
漂移定义为非平稳区域化变量的数学期望，在任一点上的漂移就是该点上区域化变量的数学期望。其表达式为：
               
漂移比较复杂，不能用简单分析表达式来模拟整个样品域，经常用邻域模型来研究。在给定的以点为中心的邻域内的任一点，其漂移可用如下函数表示：
式中，为一已知函数；为未知系数。通常采用多项式形式，在二维条件下，漂移可看成坐标的函数。
2.2.2涨落
对于有漂移的区域化变量，假设可分解为漂移和涨落两部分，如下所示：
式中，朱古亭为点处的漂移，称为涨落。那么，区域化变量的分解可以这样理解：由两个不同尺度的现象合成，是在较大尺度下可以观察的现象变化，是在较小尺度下的现象变化。由此可得
所以，可见，涨落是一个数学期望为0的区域化变量，可认为涨落是围绕漂移摆动的随机误差。
2.3非平稳区域化变量的协方差函数和变异函数
2.3.1基本假设
假设的增量具有非平稳的数学期望和非平稳的方差函数，即假设下式存在：
2.3.2协方差函数和变异函数
当时，的协方差函数为：
即，说明的协方差函数就等于涨落的协方差函数。
的变异函数为：
即，说明的变异函数就等于涨落的变异函数。
2.4的泛克里金法估计
由于多为未知，故不能基于原始数据用来计算。因此泛克里金估计有两方面的内容，一是的估计，二是的估计。由于泛克里金法比较复杂，本文仅简单介绍的估计问题。
设为一非平稳区域化变量，其数学期望为，协方差函数为且已知，则
设的漂移可表示为如下个单项式的线性组合
已知个样品点，其观测值为，现要用这些样品点估计邻域内任一点的值，的泛克里金估计量为：
为使为的无偏最优估计量，需在以下两个条件下求解权重系数。
2.4.1无偏性条件
           
若要满足无偏性条件，需，则
即对任一组系数等式均成立，需
成立。这个子式称为无偏性条件。
DMF2.4.2最优性条件
在满足无偏性条件下，用估计的泛克里金估计方差为：
将无偏性条件带入得
要求出在满足无偏性的条件下使得估计方差最小的权系数，需根据拉格朗日乘数法原理，建立拉格朗日函数。
求出函数对个权系数的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立如下方程组。
整理得估计的泛克里金方程组：
从泛克里金方程组可得以下两等式：
将等式带入估计方差公式可得泛克里金方差，记为。
用变异函数表示泛克里金方程组如下：
用变异函数泛克里金方差：
3.泛克里金法案例应用
设某一区域气温是非平稳的区域化变量，在南北方向（空间坐标的y方向）上存在线性漂移，即。若已知其涨落满足二阶平稳假设，并且拟合的协方差函数模型为球状模型，如下所示：
利用泛克里金法对下表中的0号点进行估计。
表1 观测数据
站号
x
y
观测值
1
138
152
20.82
2
118
128
10.91
3
150
104
10.38
4
172
146
14.6
5
176
106
10.56
0
138
134
3.1漂移基函数元素的计算
由于漂移为，则，漂移所包含的两个基函数为当
则
3.2两点之间的距离和协方差函数值
表2 两点之间的距离
并集
站点
1
2
3
4
5
0
1
0.000
31.241
49.477
34.525
59.666
18.000
2
31.241
0.000
40.000
56.921
62.032
20.881
3
49.477
40.000
0.000
47.413
26.077
32.311
4
我心中的那片绿地34.525
56.921
47.413
0.000
40.200
36.056
5
59.666
62.032
26.077
40.200
0.000
47.202
0
18.000
20.881
32.311
36.056
47.202
0.000
表3 两点之间的协方差函数值
站点
1
2
3
4
5
0
1
20.000
13.352
10.730
12.873
9.316
15.307
2
13.352
20.000
12.080
9.692
8.994
14.879
3
10.730
12.080
20.000
11.021
14.111
朱溶的个人简历
13.196
4
12.873
9.692
11.021
20.000
12.051
12.650
5
9.316
8.994
14.111
12.051
20.000
11.051
0
15.307
14.879
13.196
12.650
11.051
20.000
磁力矩
3.3经计算得泛克里金方程组矩阵为
通过矩阵运算得
3.4计算结果
将权重值代入泛克里金估计量公式得
将结果代入泛克里金估计方差得
则0号点的泛克里金法估计值为14.813，泛克里金估计方差为5.40.
附录：
在matlab中计算两点之间欧式距离和协方差函数值的代码如下:
x=[138,118,150,172,176,138];%点1:n的x坐标
y=[152,128,104,146,106,134];%点1:n的y坐标
d=zeros(6,6);
for i=1:6
    for j=1:6
        d(i,j)=sqrt((x(1,i)-x(1,j))^2+(y(1,i)-y(1,j))^2);
    end
end
d
c=zeros(6:6);
for i=1:6
    for j=1:6
        if d(i,j)==0
            c(i,j)=20;
        elseif d(i,j)>0&d(i,j)<=200
            c(i,j)=18-20*(3*d(i,j)/(2*200)-d(i,j)^3/(2*200^3));
        else
            c(i,j)=2;
        end
    end
end
c

本文发布于:2024-09-22 01:56:51，感谢您对本站的认可！

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