LTE关键技术之⼀：OFDMA（OFDM基本原理及简单实例应
⽤）
OFDM即正交频分复⽤（Orthogonal Frequency Division Multiplexing），是多载波调制的⼀种，通俗来说就是通过多条互相没有关系的通道传输不同的信息。OFDM现在主要⽤于4G通信上，并且由于其频带利⽤率⾼，抗多径能⼒强，能有效抑制ISI（符号间⼲扰）和ICI（信道间⼲扰），在⽔声通信⽅⾯也有较多的应⽤，这是后话。今天主要整理下OFDM原理上的⼀些东西，也理⼀理⽐较杂乱的⼤脑。 刚提到说OFDM的频带利⽤率⾼，抗多径能⼒强，那么对于OFDM的原理应该分以下⼏个部分进⾏说明：
1、⼦载波的正交性
3、抗多径、抑制ISI和ICI的原因及循环前缀
⼀、⼦载波的正交性
什么是正交？从向量上来看就是两个互相垂直的向量，⽆论其模长是多少，相乘总是等于0：
⽽在函数上的正交性是怎样的呢？⽤⽂字来说，就是⽆论两个函数的幅值为多少，在确定的⼀个时间周期内相乘，其积分总是等于0（也就是⾯积相加为0）。⽐如最简单的⼀对正交函数sin(t)和sin(2t)（matlab实在不熟练，画个图还要百度半天，⼲脆也截图下来好了）： 其中红⾊是sin(t)，蓝⾊是sin(2t)。他们均在2π时间内具有完整的周期，各⾃在2π时间内的积分问为0（正负⾯积相加为0）。⽽
sint(t)*sin(2t)的图像为：
可以⼤概地看出，图像中正负⾯积相加同样为0，也就是：
再总结⼀遍，函数的正交性就是⽆论两个函数的幅值为多少，在确定的⼀个时间周期内相乘，其积分总是等于0。那么如果使得sin(t)的幅度为a，sin(2t)的幅度为b，也就是将a调制于sin(t)，将b调制于sin(2t)，同时传输这两个调制了信号的正弦波（⼦载波）： a*sin(t)+b*sin(2t)，在接收时⼜分别对两路⼦载波进⾏积分，也就是：
看，这样就将原始信息a和b解调出来了，两路⼦载波互不⼲扰，⽽OFDM就是通过多路互不⼲扰的⼦载波传递了不同的信息。⽽由于⼦载波的正交性，其频率间隔很⼩，使得频带利⽤率很⾼，在⽔声信道这样可⽤频带窄的环境中较为适⽤。 两级圆柱齿轮减速器设f0~fN-1是以Δf（能使每个⼦载波互相正交的频率间隔）为频率间隔的N个频率，Nc为⽤到的⼦载波个数，那么就有：
由于正弦函数与余弦函数的正交关系，上式还可以扩展为：
画个常见于各种OFDM原理说明⽂章内的框图来说，就是这样：
其中，F(n)是串⾏⽐特流经过编码后（按照不同的映射⽅式），产⽣的复数形式的数据流，a和b均为-
1（也就是⼆进制的0）或1。F(n)中的实数a(n)调制于余弦⼦载波上，复数b(n)调制于正弦⼦载波上（三⾓函数的复数形式ej2πft=cos(2πft)+jsin(2πft)）。在N个频率中，只有Nc个⼦载波是⽤于传递信息（这⾥说得有点绕，暂且理解处理过程即可）。之后将所有路的信号进⾏叠加，就成为了传递出去的波形了。在接收端，对各路信号进⾏积分，便解调出了a(n)和b(n)。
⼆、OFDM与傅⾥叶变换的关系
OFDM系统在处理的过程中要⽤到傅⾥叶变换，也是让很多⼈知其然不知其所以然的⼀个问题。将刚才的f(t)改写为复数形式，也就是：
查⼀下傅⾥叶变换的公式，是不是特别像？傅⾥叶变换（FFT）就是将时域的波形转换为频域来看，频域上显⽰出来的各频率的幅度就是所调制的信号，逆傅⾥叶变换（IFFT）就是将调制了信号的各频率值合成为时域上的波形的过程，⾃然从公式上看是⼀样的了。所以，调制的过程就是逆傅⾥叶变换的过程，解调的过程就是傅⾥叶变换的过程。
针刀上⾯复数表达式我认为可以这样理解，在⼀个⼦载波上（正余弦只不过是相位上的差别），⽽Fk即之前的F(n)=a(n)+jb(n)，也就是⼀个⼦载波上可以携带2⽐特数据（具体携带1个还是2个与编码映射有关，本⽂以QPSK为例，也就是携带2⽐特）。
压电陶瓷超声换能器那么之前为什么要绕半天⼜N⼜Nc⼜k的呢？这个就跟IFFT的处理过程有关了，⼲脆以⼀个实例来说最明⽩不过：
1、假设我们取IFFT的点数N=2048；
2、输出通带为6~12kHz；
3、（IFFT变换后的）采样频率设置为fs=48kHz（根据采样定理，fs要⼤于2倍的最⾼频率）。一致性检验
那么从以上三条我们可以知道什么呢？
1、第0个点（n=0）是零频，也就是直流；
2、第1024个点（n=N/2）对应的频率是24k（fs/2），以此为界，第1~2047个点是对称的，对称的原因嘛，看傅⾥叶变换的原理去（其实我也说不清，证明过程貌似有点复杂）；
3、频率间隔Δf=fs/N=23.4375Hz，合着上⼀条⼀起看，也就是把48k平均分成了2048份，每⼀份之间的频率间隔为视在功率
23.4375Hz（⽽实际上有意义的只有n<=1024）；
4、算得6k对应n=f1/Δf=256，12k对应n=f2/Δf=512，因此Nc必须⼩于256，并且n的取值范围要在[256,512]内，否则输出的频率将⾼于或低于输出通带，这⾥以Nc=128为例，中⼼频率为9k，则n的取值为[320,448)；
5、从时域上来看，可以知道采样周期Ts=1/fs=20.83μs，符号周期T=N*Ts=42.67ms，也就是频域上分了2048份，在时域上也采样了2048次；
6、这个符号周期指的就是⼀次IFFT变换需要的时间，也就是对于128个⼦载波，每个⼦载波分别在T时间内传输了⼀个复数符号
（2bits），并且叠加在了⼀起，把256bits的数据发射了出去；
7、进⼀步地，假设声码器的码率为600bps（每45bits/75ms），要保证发射出去的速率与声码器⼀致，⽽我们现在的速率为每
6kbps(256bits/42.67ms)，怎么办呢？那就需要在每次IFFT变换之间留有间隔，为Tcp=256bits/600bps-42.67ms=384ms，这么长的时间间隔就这么空着吗？当然不，这就涉及到循环前缀，将在第三节说明。
上帝已死
整理⼀下涉及到的公式：
1、采样频率：fs>2*fmax
2、频率间隔：Δf=fs/N
3、有⽤⼦载波个数Nc<(f2/Δf-f1/Δf)
4、有⽤⼦载波取值范围[f1/Δf,f2/Δf)
5、频率与n值的对应关系：n=f/Δf
6、符号周期：T=N*Ts=N/fs
7、码率=Nc*2/(T+Tcp)(是否乘2根据⼀个复数符号携带1bit还是2bits⽽定)
三、抗多径、抑制ISI和ICI的原因及循环前缀
说到OFDM的抗多径能⼒就不得不说到循环前缀。多径⼲扰会产⽣时延扩展、信号衰落，简单说就是对于⼀个脉冲信号，经过了多径信道传输后，产⽣了多个具有时延的，有⼀定衰落的脉冲信号，这些信号幅度服从瑞利分布：
对于ISI（符号间⼲扰），只要前⼀个符号的时延扩展时间（信道冲激响应长度）不会影响到下⼀个符号，便可以消除ISI，也就是说每个符号之间的保护间隔时间要⼤于时延扩展的时间。
对于ICI（信号间⼲扰），就要谈到循环前缀（CP）。由于我们的信道是多径信道，各路⼦载波被接收到的时间可能有偏差，这就造成在FFT积分时间长度内⼦载波之间相差不再是整数周期，⼦载波之间的正交性受到破坏，如果保护间隔中只是单纯地填零，那么在解调时⼦载波之间就会产⽣⼲扰。循环前缀是将符号尾部的信号搬移到前⽅构成的，这样，就可以保证各路⼦载波在⼀次FFT积分时间长度内，各⼦载波之间相差总是整数个周期，避免了信号间的⼲扰。
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