橡皮弹
⼀.RLC说明
RLC电路常见的有RLC串联和RLC并联电路，其原理是相通的，本次公式推导和电路说明以RLC串联电路进⾏说明。FIKFAP
⼆.RLC公式推导
新知岛
书治要RLC电路其实就是⼀个⼆阶电路，如下图为⼀个串联RLC电路：
其可⽤下述线性⼆阶常微分⽅程描述：
RLC串联电路的零输⼊响应和零状态响应都与微分⽅程的系数即元件参数有关。 阻尼系数说明：
例如对于⼆阶系统，其特征⽅程标准形式为：
为阻尼系数，ωn为⽆阻尼振荡频率。的⼤⼩反映了阻尼的⼤⼩。>1为过阻尼，系统特征根为两个负实根，不发⽣振荡；=1，为临
中国定格动画论坛界阻尼；<1为⽋阻尼。
阻尼系数：
谐振⾓频率：
⽅程式可以写为：，=
1）当>1 时，S1，S2均为不同的实根，u(t) 响应是⾮振荡性，称为过阻尼响应。
2）当=1 时，S1，S2为两个相等的负实根，称为临界状态。
3）当 <1时，S1，S2为⼀对共轭复数根，称为⽋阻尼状态。
三.零输⼊状态和零状态响应
零输⼊响应
零输⼊响应的RLC电路如图1所⽰，初始条件为电容电压UC等于U0，电感电流I等于0，然后开关从左往右拨，根据电路参数的不同，零输⼊响应有四种情况： 图1 零输⼊响应RLC电路
（1）过阻尼， >1 ，电路中的电流在放电过程中永不改变⽅向，电容在全部时间内⼀直在⾮振荡放电，对应波形⽰意如图2所⽰；
图2 过阻尼零输⼊响应波形
（2）临界阻尼， =1 ，电容⾮振荡放电，波形与过阻尼类似，如图2所⽰；
（3）⽋阻尼， <1 ，电容电压在零值附近做衰减振荡放电，电流也在零值附近做衰减振荡，对应波形⽰意如图3所⽰。
图3 ⽋阻尼零输⼊响应波形
（4）⽆阻尼，R=0，电容电压按正弦规律做等幅振荡，振荡⾓频率为，对应波形⽰意如图4所⽰，现实情况中阻尼R 不可能为0，所以不存在这种现象。
图4 ⽆阻尼零输⼊响应波形
1.2 零状态响应
情报杂志零状态响应的RLC电路如图5所⽰，初始条件为电容电压UC和电感电流I均等于0，然后输⼊激励。与零输⼊响应类似，零状态响应也有四种情况：
图5 零状态响应RLC电路
（1）过阻尼， >1，电路中的电流在充电过程中永不改变⽅向，电容在全部时间内⼀直在⾮振荡充电，对应波形⽰意如图6所⽰；
图6 过阻尼零状态响应波形
（2）临界阻尼， =1，电容⾮振荡充电，波形与过阻尼类似如图6所⽰；
（3）⽋阻尼， <1，电容电压在电源电压值U0附近做衰减振荡充电，但是不会超过电源电压的2倍，电流在零值附近做衰减振荡，对应波形如图7所⽰。
图7 ⽋阻尼零状态响应波形
（4）⽆阻尼，R=0，电容电压围绕着电源电压值U0按正弦规律在0~2倍的电源电压⼤⼩之间做等幅振荡，电流围绕零值附近做等幅的正弦振荡，振荡⾓频率为 ，对应波形⽰意如图8所⽰，现实情况中阻尼不可能为0，不存在这种现象。
图8 ⽆阻尼零状态响应波形
三.RLC振荡通俗解释
我们知道电容电压是连续不能突变的，电容公式I=Cdu/dt，变换可得du=Idt/C，根据数学中的导数知识可得，连续函数在极值点的导数等于0，因此电容电压值最⼤时，即电压导数du=0时，Idt/C=0，可得电容电流I=0；同理，电感电流是连续不能突变的，电感公式
U=Ldi/dt，电感电流最⼤的时候，电感电压UL=0。
2.1 零输⼊响应
从⽆阻尼零输⼊响应的波形图9开始分析，初始条件电容电压为U0，电感电流为0，由于电阻R=0，由图1电路，根据基尔霍夫电压定律可知，⽆论何时，电感电压UL=电容电压UC。在0时刻，由于电容电压为U0，两侧极板的电荷不平衡，极性为上正下负，所以电容开始放电，电路中的电流开始增加，流向为顺时针⽅向，如图10所⽰。直到t1时，电容放电完毕，电压UC=0，因此电感电压UL=0。根据上述电感特性，此时电路电流I最⼤，电容两侧极板电荷处于平衡状态。t1时刻虽然电容处于电荷平衡状态，但是由于电感电流不能突变，不能瞬间从最⼤值变为0，只能慢慢降低，这就导致电容的电荷平衡状态被打破，电容重新被充电，极性与t0时刻相反，为上负下正，直⾄t2时电感电流I=0，根据上述
电容特性，此刻电容电压达到最⼤值。t2时刻虽然电感电流I=0，但是此时电容两侧极板的电荷⼜处于不平衡状态了，电容⼜要开始放电，只是⽅向与0~t1时间段内相反，为逆时针⽅向，后续分析与前述思路相同，不再赘述，整个过程种电容电压和电流相位正好相差90°。
图9 ⽆阻尼零输⼊响应波形分析
图10 零输⼊响应电流⽅向
当电路中的阻尼电阻R≠0时，波形如图11所⽰，由于电阻R存在压降UR，电感电压UL就不等于电容电压UC了，⽽是如下关系：
UC=UL+UR。在0时刻，电容放电，电容电压UC下降，电流I增加，电阻电压UR增加，直到t1时刻，电容电压UC和电阻电压UR相等，即UC=UR=IR时，此时电感电压UL就等于0，电流I达到最⼤值，I=UC/R，其⼩于⽆阻尼状态下的电流最⼤值。t1时刻电容尚未放电完毕，因此在t1~t2时间段内，电容继续放电直到t2时刻放电结束。⽽电感电流在t1时刻达到最⼤值后开始下降，但电流⽅向不变，到t2时，电容电压放电完毕，电感电流开始给电容充电，电容极性变为上负下正，直到t3时刻，电感电流I=0，电容电压UC达到最⼤值。从分析中可知，由于电阻R的存在，电感电流在电容尚未放电完毕时就已经达到最⼤值，电阻R越⼤，电流最⼤值I=Uc/R就越⼩，电流达到最⼤值的时刻也越早，当 时，电流与电容电压分别都在同⼀时刻达到0不再振荡，形成⾮振荡放电。
图11 ⽋阻尼零输⼊响应波形分析
2.2 零状态响应
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