§1 转动和欧拉角
三维实空间中的任一转动均可由转动轴（n ：单位向量）和转动角θ来描写，即()θn R ，由于显然有关系 ()()θπθ−=−2n n R R ，
故我们可取转动角θ的范围为πθ≤≤0。
现在考虑相继的两次转动，关于轴1转α角:()α1R 和关于轴2转β角:()β2R ,
若有关系：
()()()αβγ123R R R =，
我们来看如何确定轴3和转动角γ。后牙
首先我们作一个单位球面，球心O 点。于是轴1对应球面上的A 点，轴2对应球面上的B 点。（如右图所示）球面上的C 点和D 点使得CAB ∠（平面OAC 与平面OAB 的夹角）与DAB ∠（平面OAB 与平面OAD 的夹角）均为2/α和CBA ∠（平面OAB 与平面OBC 的夹角）与DBA ∠（平面OAB 与平面OBD 的夹角）均为
2/β，于是很明显，()α1R 的作用将C 点变到D 点，而()β2R 的作用将D 点变到C
点，于是，相继的()β2R ()α1R 作用使得C 点不动。这样，OC 轴就是我们要的
B
α/2
β/2
图七、转动的乘积.
轴3。进一步，我们知道，()α1R 作用后，A 点是不动的，而()β2R 的作用将A 点变到'A 点，因此()γ3R 的作用也应该将A 点变到'A 点，于是转角γ即为平面OCA 与平面'OCA 的夹角。
上述事实确实表明，转动操作()θn R 构成一个：完全转动。对任何两个
转动相同角度θ的转动操作()θ1
n R 和()θ2
n R ，总是存在另一个转动Q ，使得
()θ2
n R =Q ()θ1
n R 1−Q ，
Q 转动将转动轴1n 变为2n ，转动操作()θ1
n R 和()θ2
n R 彼此共轭。
现在，我们用三个欧拉角来表述转动：任一三维的转动()θn R 均可表为下述
三个相继转动：
无锡 性息(1) 关于z 轴转α角()πα20≤≤：()αz R 。此转动将使坐标轴z y x ,，变为
z z y x =111,,；
(2) 关于1y 轴转β角()πβ≤≤0：()β1
y R 。此转动将使坐标轴111,,z y x 变为
2122,,z y y x =；显然有
()()()()1
1
−=αβαβz y z y R R R R .
(3) 关于2z 轴转γ角()πγ20≤≤：()γ2
z
R 。此转动将使坐标轴222,,z y x 变为
2',','z z y x =；这里的
()()()()1
1
1
1
2
−=βγβγy z y z R R R R .
于是，我们有
()()()()
()()().
《艋舺》,,1
2
γβααβγγβαz y z z y z R R R R R R R ==
上式表明，相同的转动在运动的坐标系中（第一行）和固定坐标系中（第二行）三个转动正好相反。空间某点的坐标()z y x ,，在变换前后的关系为
⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛z y x R z y x ˆ'''， 这里的R
ˆ为 ⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛−=10
0cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos 10
00cos sin 0sin cos ˆγγ
γ
γ
ββ
ββαααα
R 。 每个（正则）转动均与一个33×的（行列式为1）正交矩阵一一对应，故三维空间的转动与()3SO 同构。或直接称该转动为()3SO 。 我们知道当转动操作R 作用在函数上时，有
()()
r r 1ˆ−=R
R ψψ， 因此，
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()()ϕφϕφ,,=R R ，
即转动操作R 是一个幺正算子。
考虑无穷小转动()εz R ：关于z 轴旋转无穷小角度ε，于是对应的变换矩阵是
()⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝
⎛−=10001
01ˆεεεz R ， 它的逆矩阵是
()⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝
⎛−=−1000101ˆ1εεεz R
。
于是
()()()
(
大国脚印
)
(),
,,ˆ 1, , ,,z y x l i z x y y x z y x R z
z ψεεεψψε−=−+=
这里的z l ˆ就是量子力学中角动量的z 分量，即 .ˆ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−=x y y x i l z
这样，我们得到无穷小转动算子与厄密算子z l 的关系
().ˆ 1z z l i R εε−=
对旋转有限角度θ的转动()θz R ，有
()()[]
()
.ˆ exp ˆ1lim lim z n
z n n
z n z l i l n
i n R R θθθθ−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−==∞→∞→
关于空间任意方向n 旋转角度θ的转动()θn R ，则有
()()
()[]
.ˆˆˆ exp ˆ exp z z y y x x l n l n l n i i R ++−=⋅−=θθθl n n
用欧拉角表示的转动为
()()(
)(
)
.ˆ exp ˆ exp ˆ exp ,,z y z l i l i l i R γβαγβα−−−=
角动量算子之间满足对易关系：
[]z
y
x
l i l l ˆˆ,ˆ=，[]x
z
y
l i l l ˆˆ,ˆ=，[]y
x
z
l i l l ˆˆ,ˆ=。
§3 无穷小转动的表示 现在考虑转动的矩阵表示。若表示的基为{}m φ，它的变换是
()∑Γ='
''m m m m m R R φφ，
幺正矩阵()R Γ对应转动R 。对无穷小转动()εz R ，就有
()()z z J
i R ˆ 1εε−=Γ， 矩阵z J ˆ是厄密的。同样的，对有限角度的转动，有
()()()
,ˆ exp z z J
i R θθ−=Γ 以及 ()()()()[]
z z y y x x J n J n J n i i R ˆˆˆ exp ˆ exp ++−=⋅−=ΓθθθJ
n n 和
()()()()()
.ˆ exp ˆ exp ˆ exp ,,z y z J i J i J
过氧化氢酶活性测定
i R γβαγβα−−−=Γ 这里的矩阵x J
ˆ，y J ˆ和z J ˆ与角动量算子满足相同的对易关系，是角动量算子的表示矩阵。这样，有关转动的问题就变成了讨论角动量算子的矩阵表示。
定义：
2222ˆˆˆˆz y x J
J J J ++=，y x J i J J ˆˆˆ±=±， 则对易关系为
[]±
±±=J J J z
ˆˆ,ˆ,[]z J J J ˆ2ˆ,ˆ
=−+, []
0ˆ,ˆ2=z
J J , []
0ˆ,ˆ2=±J J . 由这几个对易关系，我们可以得到在{}
z J J ˆ,ˆ2共同表象的所有角动量矩阵的非零矩阵元：
1) ())1(ˆ,2+=j j J m
m ; 2) ()
()()1ˆ,1++−=++m j m j J m
m ; 3) ()()()1ˆ,1+−+=
−−m j m j J m
m ;
4) ()
m J
m
m z =,ˆ;
这里的 j j j m ,,1,"+−−=，",2,1,02=j ，矩阵的维度是12+j 。
以2/1=j 为例，这时的角动量就是自旋s
ˆ，有
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