图形学知识基础：三维变换，旋转（欧拉⾓旋转与万向锁，绕 钢芯铝绞线任意轴旋转，四元数）
三维变换
与上⼀篇⽂章中的⼆维变换类似，我们可以使⽤⼀个 3*3 的矩阵来表⽰⼀个三维的线性变换： 四季养生论文并且矩阵 的 ， 和 即为 变化后的值， ， 和 即为 变化后的值， ， 和 即为 变化后的值。
仿射变换的公式为：
同样的，我们可以通过引⼊齐次坐标来表⽰仿射变换，公式为：
例如缩放s倍的矩阵为：
旋转变换
相⽐其他变换，旋转变换相对的要复杂⼀些。⾸先我们要确定我们的坐标系是左⼿坐标系还是右⼿坐标系，这会影响到x，y，z三个轴的相对关系，本⽂我们使⽤右⼿坐标系来进⾏相关的运算。右⼿坐标系如下图，右⼿四指弯曲的⽅向代表x轴到y轴的⽅向，⼤拇指⽅向代表z轴⽅向。
我们先来看看在三维空间中绕x，y，z三个轴中的某个轴逆时针旋转 ⾓度的矩阵是如何的
绕x轴旋转，则可以看作是在yz平⾯的⼆维旋转，x轴的(1,0,0)不变，y轴(0,1,0)变为(0,cos,sin)，z轴的(0,0,1)变为(0,-sin,cos)，因此对应的矩阵为：
绕y轴旋转，则可以看作是在xz平⾯的⼆维旋转，y轴的(0,1,0)不变，x轴(1,0,0)变为(cos,0,-sin)，z轴的(0,0,1)变为(sin,0,cos)，因此对应的矩阵为：
绕z轴旋转，则可以看作是在xy平⾯的⼆维旋转，z轴的(0,0,1)不变，x轴(1,0,0)变为(cos,sin,0)，y轴的(0,1,0)变为(-sin,cos,0)，因此对应的矩阵为：
的结合使⽤
两者结合使⽤
对于如下表达式我们应该如何理解
通过上⼀篇提到的复合变换，上⾯式⼦表达的应该是先绕x轴旋转，然后再绕y轴旋转。假设原先物体的x轴⽅向为(1,0,0)，y轴⽅向为(0,1,0)，z轴⽅向为(0,0,1)，我们先将其绕x轴逆时针旋转 度，即 操作。此时物体⾃⾝的y轴(0,1,0)会跟着x轴的旋转变为(0,cos,sin)，记作 。那么我们再做 操作时，旋转的y轴是原先的 y=(0,1,0) 还是 =(0,cos,sin) ？这是两种完全不⼀样的情况，如下图 垂直向上较长的那根绿线为 y ，⽽较短的绿线即为 ，我们来看看绕它们旋转的情况分别是怎样的（左图为绕y旋转，右图为绕旋转）
答案是：再做 操作时，旋转的y轴就是原先的 y=(0,1,0)，即上左图的情况。因为 的旋转矩阵是根据 y=(0,1,0)的情况计算出来了，因此使⽤该矩阵计算时，⽆论物体属于⼀个什么⾓度，计算出来的结果都是根据 y=(0,1,0)这个轴进⾏逆时针旋转的结果（注：(0,0,0)为物体的中⼼点）。
我们可以称x轴⽅向为(1,0,0)，y轴⽅向为(0,1,0)，z轴⽅向为(0,0,1)的三个轴为世界坐标轴，它们不根据物体的旋转⽽改变。⽽会根据物体⾃⾝的坐标轴会根据物体的旋转⽽改变，例如上诉中的，我们可以称之为模型坐标轴。（⾃⼰按照unity常⽤的说法瞎定义了，懂原理就好。） 因此上诉的两个旋转操作都是按照世界坐标轴来进⾏的，这种我们称之为外旋，表达式 ，我们可以称之为 x-y外旋 操作。那么内旋就是使⽤模型坐标轴来做旋转操作咯，那么如果我想要实现先绕x轴旋转 度，在绕旋转后的模型坐标轴的y轴（）旋转
（即 x-y内旋 操作），那么应该怎么计算呢？
⾸先，第⼀步是绕x轴旋转，此时物体还没发⽣旋转，因此模型坐标的x轴等于世界坐标的x轴，因此我们依旧可以使⽤ 矩阵。接着我们要绕 =(0,cos,sin) 旋转，这⾥我们需要将其进⾏拆解（类似于上⼀篇中⼆维空间绕空间中任意⼀点旋转那样，拆解成先把任意点移到原点，然后旋转，然后再把改点移回去），先把 绕世界坐标的x轴旋转 度，使其与世界坐标的y轴重叠，然后使⽤ 矩阵进⾏旋转 ⾓度，最后再绕世界坐标的x轴旋转，是旋转轴回到(0,cos,sin)⽅向。
因此 x-y内旋操作即为：
1. 绕世界坐标x轴旋转度，对应矩阵
2. 绕世界坐标x轴旋转度，对应矩阵
3. 绕世界坐标y轴旋转度，对应矩阵
4. 绕世界坐标x轴旋转度，对应矩阵
可以发现第⼀第⼆步可以抵消，因此x-y内旋操作等价于先绕世界坐标y轴旋转度再绕世界坐标x轴旋转度，即 x-y内旋 等于 y-x外旋。
上诉过程⽤矩阵来表达的话，我们知道绕世界坐标x轴旋转度即为绕世界坐标x轴旋转度的逆变换，因此其矩阵即为的逆矩阵，为，因此矩阵如下
同理也可得出 x-z内旋等于z-x外旋，z-y内旋等于y-z内旋等等。
三者结合使⽤
知道上⾯这些原理后，我们再进⼀步，来理解下⾯表达式
同样的，上⾯式⼦可以称之为 x-y-z外旋 操作，即先绕世界坐标的x轴旋转度，然后在绕世界坐标的y轴旋转度，最后绕世界坐标的z轴旋转度。带⼊可得：
那么它是否和前⾯⼀样 x-y-z外旋 等于 z-y-x内旋 呢？答案是肯定的，我们来看下推导。
z-y-x内旋，重点在于如何把z-y操作后模型坐标x轴移动到世界坐标的x轴上，通过前⾯我们知道 z-y 内旋等于 y-z 外旋，因此旋转后的模型坐标x轴即执⾏了 操作，此时的模型坐标x轴，我们标记为。因此若我们要使得变回与世界坐标的x重叠，只需要执⾏⼀下相反的操作即可，即把先绕z轴旋转度，然后在绕y轴旋转度，对应矩阵为。
因此z-y-x内旋可以分解为如下⼏步骤：
1. 先将其分解为 y-z外旋 + x内旋
2. 做y-z外旋，对应矩阵
3. 做y-z外旋的逆操作，是到世界坐标x轴上，对应矩阵
4. 绕世界坐标x轴旋转，对应矩阵
5. 把归位，即再做⼀次y-z外旋操作，对应矩阵
连起来可得公式为：
可得结论：所有外旋操作等于与其操作顺序相反的内旋操作。
排列组合
我们⼀共可以得到以下六种排列组合。不同的组合得到值是不⼀样的，因为 等。
x-y-z外旋（等价于z-y-x内旋）
x-z-y外旋（等价于y-z-x内旋）
y-x-z外旋（等价于z-x-y内旋）
y-z-x外旋（等价于x-z-y内旋）
食品价格连续上涨z-x-y外旋（等价于y-x-z内旋）
sprtz-y-x外旋（等价于x-y-z内旋）
上⾯的这些旋转⽅式也就是我们常⽤的欧拉⾓旋转。
对于上⾯这些排列组合，很多会解释为每个轴对应的层级关系，例如x-y-z外旋，转动x后，y和z在之
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后的计算⽤的还是世界坐标轴，就好像x的转动和yz没有关系。y和z之间也是⼀样，转动y后，z还是⽤世界坐标轴计算，不会因为y的改变⽽改变。这个就很像所谓的层级关系，即z为最⽗层，x为最⼦层，y在中间层，当⼦层转动的时候，不会影响到⽗层。反过来也⼀样，x-y-z外旋等于z-y-x内旋，⽗层的z转动会影响y和x（内旋⽤的模型坐标轴）。
万向锁（Gimbal Lock）
简单来说上诉六个组合的操作，只要把中间那个操作的旋转⾓度设为90度的整数倍，就会触发万向锁。
我们可以从内旋的⾓度很好理解，以z-y-x的内旋为例⼦，当我们做第⼀步操作时，即绕模型坐标的z轴旋转度，⽆论怎么旋转，z轴都不会改变且等于世界坐标的z轴，但是模型坐标的x，y轴会跟着旋转变换。此时我们再做第⼆步操作，即绕模型坐标的y轴逆时针旋转 度，当 时，我们会发现此时的x轴会和做第⼀步操作时的z轴（同时也是世界坐标的z轴）处于同⼀条直线，⽅向相反。那么当我们再做第三步操作时，即绕x轴旋转，那就等于在绕世界坐标的z轴旋转，就等同于第⼀步操作，只不过⽅向相反。这就是万向锁了，即欧拉⾓有两个⾓的旋转都在绕同⼀个轴在旋转。
接着我们来从数学的⾓度分析⼀下：假设我们使⽤x-y-z外旋，对应的矩阵即为 ：
此时我们把的值设为90，可得下⾯矩阵：
即：
最终得到：
即⽆论我们的和取何值， 永远等于 。
怎么理解 永远等于 呢？当我们做⼀次绕世界坐标y轴逆时针旋转90度时，此时(1,0,0)即会变为(0,0,1)，即 等于 （=90的效果）。⽽永远等于就说明之后的z轴不会发⽣改变，什么情况下不会改变呢？那就是绕着世界坐标轴的z轴做旋转，即我们修改和的值会发现，只绕着世界坐标轴的z轴在旋转。
总结：每个内旋组合，将第⼆个轴的旋转⾓度设为90度或其整数倍时，就会触发万向锁，此时⽆论第⼀个轴或第三个轴的旋转⾓度为多少，都是在绕第⼀个轴所对应的世界坐标轴做旋转，从⽽失去了⼀个⽅向（第三个轴）的旋转能⼒。
绕任意轴旋转
前⾯我们说提到的是欧拉⾓旋转，若我们想要计算绕某个轴旋转，应该如何计算呢？
绕xy平⾯上过原点的轴旋转
我们先从简单的来，假如有个轴，它在xy平⾯上，并且经过原点，那么绕该轴做逆时针旋转应该如何来解？⾸先因为这个轴在xy平⾯且经过原点，因此通过绕z轴旋转某个⾓度（设 度）即可将该轴转到原y轴的⽅向上，然后绕该轴的逆时针旋转即是原先绕y轴逆时针旋转，旋转完成后再绕z轴旋转 - 度即可。这点和我们前⾯讲欧拉⾓旋转时是⼀样的，使⽤公式表达即为：
合并得
上诉矩阵即为三维空间中，绕xy平⾯上过原点的任意轴逆时针旋转 度的矩阵，其中 为该轴与y轴的夹⾓。
当然了，我们⼀般会给定的是⼀个轴(x,y,z)这样，⽽不是⼀个轴与某个向量的夹⾓，那么假设在xy平⾯上的某个轴为(x,y,0)，那么绕这个轴旋转度的矩阵应该是多少呢？
同样的，我们设(x,y,0)与y轴的夹⾓为度，那么可得： 与
，看着很⿇烦是不是，那么假设我们的(x,y,0)是单位向量呢？那么
，即 ，， 所以我们第⼀步先把给定的轴的向量转换为单位向量。
新台网接着我们将它们带⼊到上⾯的矩阵中可得：
再根据矩阵的加法定则，把 sin ， cos，和常量 来个质壁分离，可得：
再根据矩阵和常数的乘法，我们可以把sin 和 cos 提取出来，可得到：
因为前⾯说过，转为了单位向量，所以： 和 ，进⼀步的简化为：
可以发现，上⾯中间的那个矩阵，和最左边的那个矩阵很相似，其实就是单位矩阵减去左边的那个矩阵：
换下位置可以得到：
单位矩阵我们标记为 ，⽽ 其实就是 向量
和其转置 的积（该例⼦中，z=0）：
结论：若我们要绕xy平⾯上的某个轴 A=(x,y,0) 旋转度（其中A为单位向量），其公式为：
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