研究的是多个空间中的一点张量与另一个空间中的另一点张量的关系：
),,(21n T T T F H L =，H 的分量是分量的函数。 n T T T L ,,213. 1张量函数、各向同性函数的定义
张量函数
张量 H 取决于另一些张量 而变化，或者 n T T T L ,,21H 的分量都是 分量的函数，如：
n T T T L ,,21 2012()N
N f c c c c ==++++H T G T T T L
112012N m m i i i m i
j j m j N m m H c c T c T T c T T T δ=++++ L L j
举例：
1
(特定坐标系下) （否）
)(u u f +==u ϕ2
1
()2
f ϕρ==v v （是）
(,)f ϕ==⋅f v f v ⋅ （是）
2. 矢量的矢量函数： ()k ==−u f u u
()==−u F v K v 3. 张量的标量函数：11()f T ϕ⋅==T (特定坐标系下) （否）
2()i k T k j f T T ϕη∗==⋅⋅==T T T （是） （是）
12312()i i f θ===++εεεεε 32． 张量的张量函数：():， ==σF εC εij ijkl kl C σε= （否）
1()2g ελμ==+σF εG ε （是）
2()==H F T T （是）
小学课堂教学模式
01()()()()T T T i i n i a g G a g a g ==+++n H F T T T L （是）
(,,):T T ==+⋅+σF εE C εB E A ，
m ij ijkl kl ijm ij C B E A σε=++T 各向同性张量函数
张量的分量是随坐标转换而变化的，同一个函数在不同坐标系中可能有不同的形式。 例如：
1212()()()(,)R R f f u u u u ϕ===+u ，
112cos sin u u u θθ′′=+，212sin cos u u u θθ′′=−+
⇒()()1212()()()(,)cos sin sin cos R R f f u u u u ϕθθθ′′′′′′===−++u θ
同一个标量函数，在不同的坐标系下表达形式是不同。
若函数表达式不因坐标系（因而基矢量）的刚性旋转而改变，称为各向同性函数
坐标系顺时针旋转 矢量 逆时针旋转 u
11u
u ′=%，22u u ′=% 就函数的表达式而言，自变量矢量的旋转与坐标系反方向旋转是等价的
各向同性函数
)~
(~)(X χX χf f =⇒=，
自变量旋转后，函数作相应的旋转，使其之间的对应关系不变，即函数的表达形式不变。
f 旋转：χϕ=为标量，χ
ϕϕ==%% χ=u 为矢量， T χ
==⋅=⋅u Q u u Q %% χ=T 为二阶张量， T χ
==⋅⋅T Q T Q %%
3.2 矢量的标量函数
Cauchy 基本定理：矢量，的标量函数为各向同性的必要充分条件为1v 2v L m v 12(,,)m f v v v L f 可表为内积的函数。
i j ⋅v v 【充分性：若可表为内积：12(,,)m f v v v L ()()T i j i j i j i j i j ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅v
v Q v Q v v Q Q v v G v v v %% 必要性证明从略】
定理一：Cauchy 基本定理特例：矢量的标量函数v ()f v 为各向同性的必要充分条件为
()f ϕ=v 。
【Cauchy 基本定理中的m ＝1】
3.3 二阶张量的标量函数
定理二：二阶张量的标量函数T ()f ϕ=T 为各向同性的必要且充分条件为ϕ是仅由及度量张量的分量决定：T G (,)ij kl f T g ϕ=
推论： ()f ϕ=T 为各向同性的必要且充分条件为在正交标准化基中()ij f T ϕ=
定理三：对称张量的标量函数N ()f ϕ=N 为各向同性的必要且充分条件为
123()(,,)N N N f f g g g ϕ==N
3.4 二阶张量的二阶张量函数 --T 与()H T 可在同一组基下化为对角标准型的张量 数字造价管理
解析函数
定义指数函数：2111
()1!2!!
n e n ϕ==+++T T G T T T L L
2e e e ⋅=T T T （1
2
1
e e e +⋅≠T T T T 2
1221⋅≠⋅T T T T ）
定义解析函数：01()n n a a a ϕ==+++H T G T T L ，其中均为常数。为各向同性张量函数
i a 推广：()()()
01()T T T j j n j a g a g a g ϕ==+++n
H T G T L T 也是各向同性张量函数
[T
T T j j g g =⇒()()T
T T
k j k j a g a g =]
性质：T 在某组基下能化为对角标准型，则i g ()ϕ=H T 在下也能化为对角标准型
i g 说明()()()
123,,,T T T
j j j g g g H 的特征值，且在与T 同组基下化为对角标准型
i g ϕλϕλϕλ，，是
Hamilton-Cayley 等式---H 为级数形式的特例（标准型正交）
（上式可以由T 的2次多项式表示）
()32123T T T
g g g Δ=−+−=T T T T G 0=3T 【 当T 的特征方程无重根时，或虽有重根但
初等因子全为简单时，总可以有一组基()()
32123det 0i i T T T j j T g g g Δλλδλλλ⋅=−=−+−i g ，在此下面将T 化为对角标准形，由推广式，可以在同一组基下将化为标准形：
()ΔT ()()()()3
2
32123123
T T T T T T n n n n n Δηηηληληλη⎡⎤=−+−=−+−=⎣⎦
T T T T G g g 0 ()()()
123
g g 123112233()(,,,),,,T T T T T T j j j g g g g g g λλλΔ=Δ=Δ+Δ+ΔT T g g g g ( 而)0i Δλ=，
】
同时化为对角标准形的函数---将张量函数最终化为张量的二次多项式
同时化为对角标准形---T 与()f =H T 可在同一组基矢量下化为对角标准形
()f =H T 为同时化为对角标准形函数，且H 的特征根()i j μλ为T 的特征根j λ的函数，则
H 可以化为二次多项式：
22博鳌蓝海岸
012012()()()()()()()N N N j j j j j j f k g k g k g h h h λλλ==++=++H T G T T G T T
1) 对角标准形不一定正交。 2) H 是T 的各向同性函数。
3) 对称，T H 也对称；反对称，T H 不一定反对称。
【321λλλ≠≠：张量函数()f =H T 可以表为2
012()()()()N N N j j j f k g k g k g ==++H T G T T ，问
题归结为能否到对应的()N i j k g
12112233λλλ=++T g g g g g g 323
()()()222
1231011211012222013233112233k k k k k k k k k λλλλλλμμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
H g g g g g g g g g g g g 即()N i j k g 要满足： ()()()2
01121120122222
013233()
()()
i i i k k k k k k k k k λλμλλλμλλλμλ++=++=++= ()()()2范木根>有机食品商城
112221223312
331
1()()()01
λλλλλλλλλλλλ=−−−≠ 所以()N i j k g 有解
()()()21
11202
12233123
331
()()()
k μλλμλλλλλλλλμλλ=
−−−22 ()()()21121221223312
3
31
1
1
()()()
1k μλμλλλλλλλμλ=−−− 1122212233133
1
1
1
()()()
1
k λμ λμλλλλλλλμ=−−−123231312121323213231()()()()()(()()()()()()()
f μλλμλλμλλλλλλλλλλλλλλ−⋅−−⋅−−⋅−==
++−−−−−−T G T G T G T G T G T G H T )
两重根、三重根时略去】
对称张量的对称张量函数---、T 均对称的特列（标准型正交） N N
定理：对称张量的对称张量函数N ()f =H N 为各向同性的必要充分条件为：
2
012()()()()N N N j j j f k g k g k g ==++H N G N N
【 充分性：前面已经证明
必要性：
（1）证明H 与有相同的特征矢量 N
（2） 】 【略去】
3.5 张量函数导数的定义，链规则
研究张量函数随自变量的变化律，本章限于直线坐标系，即基矢量是常数，不随空间位置变化，只有函数的分量随空间位置变化。
i g 1．有限微分、导数、微分
自变量为标量时 导数：[]0
1
(x)lim
()(), ()()(x)()x x x x o ξξξξξξ
鸭绿江论坛→′′=+−+=++F F F F F F
有限微分：[]0
1
(x;z)lim
()(), (;)(x), (;1)(x)x hz x x z z x h
ξ→′′=+−==F F F F F F ′F 【】
有限微分的物理意义：自变量增加有限小量时，函数增量的主要部分。 z （普通导数：自变量增加单位1时，函数增量的主要部分） 导数和有限微分关系： 自变量为矢量时
()=w F v
有限微分：[]0
1
(;)lim
()()h h
ξ→′=+−F v u F v u F v 1) (;)′F v u 仍是矢量
2) (;)(;)(;)αβαβ′′+=+′F v u t F v u F v t
3) (;)(;)(;)i
i
i i u u ′′′==F v u F v g F v g 是分量的线性组合，u (;)′F v u 可视为由通过线
性变换得到，由商法则，这个线性变换是二阶张量，记为：u d ()
()d ′=F v F v v
(;)()′′=⋅F v u F v u
自变量为张量时
设：，)(A T A ---阶张量；n T ---阶张量。
m
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