偏应力张量是描述物体在某一点上各个方向上受到的力的量，它是一个二阶张量。在标量理论中，大多数方程都只需要考虑这个张量的迹和行列式。然而，在弹性力学等涉及材料性质的领域，我们需要更多关于偏应力张量的信息。这时候，我们就需要用到偏应力张量的不变量，这些不变量可以帮助我们更全面地了解材料在不同条件下的变形和应力状态。 偏应力张量的不变量有很多种，其中比较常用的有三种：主应力、应力偏量和等效应力。下面我们就来详细了解一下这三个不变量。 栗再温>邯郸市第二十六中学 一、主应力
主应力是指偏应力张量的三个本征值，即在某一点上的三个正交方向上的应力值。这三个主应力可以用来确定在这个点周围物体的应力状态。换句话说，主应力决定了材料在这个点上的变形方式和应力分布情况。
由于偏应力张量是一个对称的二阶张量，因此我们可以通过对称矩阵的本征值求解得到主应力。假设偏应力张量为：
$$\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
轻烧白云石 \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix}$$
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我们可以得到其本征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$：
解出这个方程组，我们就能得到三个主应力。主应力的大小可以用绝对值表示，方向可以用本征向量表示。
长春密刺 二、应力偏量
应力偏量是指偏应力张量的迹。迹是一个方阵对角元之和，在偏应力张量的情况下，迹等于三个主应力之和，也就是：
$$\text{Tr}(\boldsymbol{\sigma})=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}$$
应力偏量描述了物体的总应力情况，但它并不能完全描述材料的应力状态，因为三个主应力的大小和方向都需要考虑。
三、等效应力
等效应力是指在偏应力张量中一个仅仅考虑大小而不考虑方向的标量。等效应力可以用来刻画一种材料在不同应力状态下的变形行为，因为它能够反映出应力对材料变形的影响。等效应力通常用符号 $\sigma_{eq}$ 表示，计算公式如下：
其中， $\boldsymbol{\sigma}^2$ 表示偏应力张量的平方。由于等效应力只考虑应力大小，所以它并不能获得三个主应力的具体信息，但它仍然是一个非常重要的不变量。千代富士
综上所述，偏应力张量的不变量能够更全面地描述材料的应力状态和变形行为。主应力反映了材料在各个正交方向上的应力值，应力偏量反映了总应力情况，等效应力则刻画了应力对材料变形的影响。这些不变量在材料科学和工程领域中都有着广泛的应用。
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