两向量点乘坐标运算_基础篇4：张量的运算及⽮量梯度、张量 散度
在前⾯介绍的⽮量运算和张量表达法的基础上，本⽂将主要介绍CFD中与张量相关的运算。从本⽂开始，如⽆特别说明，提到张量时均指的是⼆阶张量。
⽮量的并⽮积
两个⽮量的并⽮积可以写作
或
，它是将两个⽮量的各个⽅向进⾏并置，从⽽得到⼀个⼆阶张量：伤怀之美
纯策略纳什均衡也可以将并⽮积看作是⼀个列向量与⼀个⾏向量相乘所得的矩阵：
根据这⼀运算规则，我们可以得到⽮量的梯度
张量的运算
张量的运算与矩阵运算具有⾼度的⼀致性：
两国集团1. 张量相加
2. 标量乘以张量
3. 张量点乘⽮量
泵送混凝土根据这⼀运算规则，我们可以得到张量的散度
张量的散度，其结果是⼀个⽮量：
4. 两个张量（或并⽮）的点乘
其结果仍为张量：
按照矩阵乘法进⾏运算，其结果仍为张量
上式中
均为⽮量，
和
则为两个⽮量的并⽮积，即张量；等式右边
是⼀个标量，
为张量。
两个张量的双点积的运算是基于以下两个⽮量并⽮积的双点乘运算规则：
上式中
均为⽮量，
则为两个⽮量的并⽮积，即张量；⽽
和组织芯片
均是两个⽮量的点乘，其结果是标量。由此可见，
张量的双点积的结果是⼀个标量。
张量的双点积的结果是⼀个标量
将这⼀规则应⽤到笛卡尔坐标系的单位⽮量上，可以得到：
上⾯仅列举了部分结果，其他单位⽮量的双点积结果也容易得到。
由此可以得到，黏性⼒张量和速度梯度张量的双点积结果为：
以上⽤四篇⼩⽂章给出了CFD中常见的张量运算法则，在公式推导中还会涉及更多张量运算公式，但基本都可以通过以上这些基本法则来进⾏推导和证明，在后⾯⽂章⽤到时会进⾏简单说明。下⼀篇⽂章将给出推导N-S⽅程时会⽤到的⼏个积分定理。
北京政治副中心
参考资料
[1] Moukalled, F., Mangani, L., and Darwish, M. The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics : An Advanced Introduction with OpenFOAM and Matlab. 2016.
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议