小挠度曲线微分方程
忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式防老剂a
为:
(a) 式(a)表明梁轴线上任一点的曲率与该点处
横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚
四川西昌度成反比。如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间
存在下列关系:
(b) 将上式代入式(a)，得到
(c)
小挠度条件下，，式(c)可简化为:
(d)
在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应
着的正值(图7-3a)，负弯矩对应
着 的负值(图7-3b)，故式(d)
左边的符号取正值
(7-1) 式(7-1)称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适
用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
用积分法求梁的位移 三会
吴有松事件将式(7-1)分别对x 积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程: (a)
(b)
其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。
对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式(a)和(b)中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件(即支座对梁的挠度和转角提供的限制)确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。
对于载荷有突变(集中力、集中力偶、分布载荷间断等)的情况，弯矩方程需要分段描述。对式(a)和(b)必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。
【例7-1】 悬臂梁受力如图7-5所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角
直通春晚第三场
和最大挠度。
【解】首先建立如图所示之坐标系.因为在范围内无载荷突变,故梁全长上的弯矩方程为
(a)
挠度曲线微分方程为
奋进的旋律评价
(b)
将上式积分一次,得
(c) 图7-5 再积分一次,得
(d)
利用约束条件,可确定上述方程中的积分常数C、D。对于固定端截面，其转角和挠度均为零，即
将其代入方程(c)和(d)，解得
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