1.略试题与研究
2 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系？ 序号 | 1 | 2 | 3 | 湖南省国土资源厅 4 | 5 | 6 | 7 乐透型c735 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
性别 | 男 | 男 | 男 | 女 | 男 | 男 | 女 | 男 | 女 | 女 | 男 | 男 |
职称 | 工程师 | 技术员 | 技术员 | 技术员 | 技术员 | 工程师 | 工程师 | 技术员 | 技术员 | 石家庄滹沱河工程师 | 技术员 | 技术员 |
| | | | | | | | | | | | |
解:设A＝女性，B＝工程师，AB＝女工程师，A+B＝女性或工程师
（1）P(A)＝4/12＝1/3
（2）P(B)＝4/12＝1/3
（3）P(AB)＝2/12＝1/6
（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/2
3.向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是0.06、0.09，而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。
解：本题考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清楚军火库只要一个爆炸就可以，所以知军火库爆炸是几个事件的和事件．
P(A)=0.06+0.09=0.15
4. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。
解:设A＝第1发命中。B＝命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。
＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9
脱靶的概率＝1－0.9＝0.1
或（解法二）：P(脱靶)＝P(第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.1
5. 已知某产品的合格率是98%，现有一检查系统，它能以0.98的概率准确的判断出合格品，而对不合格品进行检查时，有0.05的可能性判断错误，该检查系统产生错判的概率是多少？ 解：考虑两种情况，一种就是将合格品判断错误，概率为98%*（1-0.98）=0.0196
另一种情况就是将不合格品判断错误，概率为（1-98%）*0.05=0.001
所以该检查系统产生错判的概率是0.0196+0.001=0.0206
6. 有一男女比例为51:49的人，一直男人中5%是盲，女人中0.25%是盲，现随机抽中了一个盲者，求这个人恰好是男性的概率？
7. 消费者协会经过调查发现，某品牌空调器有重要缺陷的产品数出现的概率分布如下： X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
P | 0.041 | 0.130 | 0.209 | 0.223 | 0.178 | 0.114 | 0.061 | 0.028 | 0.011 | 0.004 | 0.001 八三版射雕 |
| | | | | | | | | | | |
根据这些数值，分别计算：
（1）有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。
（2）只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。
（3）有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。
解：离散型随机变量的概率分布
8. 已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84％，超过70岁以上的概率为63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少？
解: 设A＝活到55岁，B＝活到70岁。所求概率为：
9. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？ 解:这是一个计算后验概率的问题。
设A＝优质率达95％，＝优质率为80％，B＝试验所生产的5件全部优质。
P(A)＝0.4，P()＝0.6，P(B|A)=0.955， P(B|)=0.85，所求概率为：
决策者会倾向于采用新的生产管理流程。
10. 某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25％、30％和45％。这三个企业产品的次品率分别为4％、5％、3％。如果从这些产品中随机抽出一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少？（2）若发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙厂的概率是多少？
解:令A1、A2、A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B表示次品。由题意得：P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.30， P(A3)＝0.45；P(B|Asdl1)＝0.04，P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.03；因此，所求概率分别为：
（1）
＝0.25×0.04＋0.30×0.05＋0.45×0.03＝0.0385
（2）
11. 某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是
相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。
解:据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p＝24/(24+36)＝0.4。
设途中遇到红灯的次数＝X，因此，X～B(3，0.4)。其概率分布如下表：
xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(X= xi) | 0.216 | 0.432 | 0.288 | 0.064 |
| | | | |
期望值（均值）＝1.2（次），方差＝0.72，标准差＝0.8485（次）
12. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：
（1）至少获利50万元的概率；
（2）亏本的概率；
（3）支付保险金额的均值和标准差。
解:设被保险人死亡数＝X，X～B(20000，0.0005)。
（1）收入＝20000×50（元）＝100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X ≤10)＝0.58304。
（2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为：
P(X>20)＝1－P(X≤20)＝1－0.99842＝0.00158
（3）支付保险金额的均值＝50000×E(X)
＝50000×20000×0.0005（元）＝50（万元）
支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)
＝50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2＝158074（元）
13. 对上述练习题的资料，试问：
（1）可否利用泊松分布来近似计算？
（3）假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算？
解: （1）可以。当n很大而p很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，λ= np=20000×0.0005=10，即有X～P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。
（2）也可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。
本例中，np=20000×0.0005=10，np(1-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995，
即有X ～N(10,9.995)。相应的概率为：
P(X ≤10.5)＝0.51995，P(X≤20.5)＝0.853262。
可见误差比较大（这是由于P太小，二项分布偏斜太严重）。
【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。
（3）由于p＝0.0005，假如n=5000，则np＝2.5<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。
14. 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为1.5的泊松分布求：
（1）晚班期间恰好发生两次事故的概率；
（2）下班期间发生少于两次事故的概率；
（3）连续三班无故障的概率。
解：（1）P(X=2)=POISSON(2,1.5,0)=0.251021
（2）P(X≤1)=POISSON(1,1.5,1)=0.557825
（3）P(X=0)·P(X=0)·P(X=0)=[POISSON(0,1.5,1)]^3=(0.2231)^3=0.111
15. 假定X服从N=12，n=7，M=5的超几何分布，求：
解：（1）P(X=3)=HYPGEOMDIST（3，7，5，12）=0.4419
（2）P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=HYPGEOMDIST（2，7，5，12）+HYPGEOMDIST(1,7,5,12)+HYPGEOMDIST(0,7,5,12)
=0.2652+0.0442+0.0013=0.31061
（3）P(X>3)=1-P(X≤3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]
=1-(0.31061+0.4419)=1-0.75253=0.24747
16.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于0.9。
解:（1）＝0.04779
合格率为1-0.04779＝0.95221或95.221％。
(2) 设所求值为K，满足电池寿命在200±K小时范围内的概率不小于0.9，即有：
即：，K/30≥1.64485,故K≥49.3456。
17.某公司决定对职员增发“销售代表”奖，计划根据过去一段时间内的销售状况对月销售额最高的5%的职员发放奖金。已知这段时间每人每月的平均销售额（元）服从均值为4000、方差为360000的正态分布，那末公司应该把“销售代表”奖的最低发放标准定为多少？
解：NORMINV(0.95,40000,600)=40986.91
18. 一个具有个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。
⑴ 给出的抽样分布（重复抽样）的均值和标准差
⑵ 描述的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗？
⑶ 计算标准正态统计量对应于的值。
⑷ 计算标准正态统计量对应于的值。
解: 已知 n=64，为大样本，μ=20，σ=16，
豫公网安备41160202000603
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