17.下图给出了2000年美国人口年龄的金字塔,其绘制方法及其数字说明与【例2.10】相同,试对该图反映的人口、政治、社会、经济状况进行分析。
1 .某技术小组有12人,他们的性别和职称如下,现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率:(1)女性;(2)工程师;(3)女工程师,(4)女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系?
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 唧唧复唧唧 | 10 | 11 | 12 |
性别 | 男 | 男 | 男 | 女 | 男 | 男 | 女 | 男 | 女 | 女 | 男 | 男 |
职称 | 关典史工程师 | 技术员 | 技术员 | 技术员 | 技术员 | 工程师 | 工程师 | 技术员 | 技术员 | 工程师 | 技术员 | 技术员 |
| | | | | | | | | | | | |
解:设A=女性,B=工程师,AB=女工程师,A+B=女性或工程师
(1)P(A)=4/12=1/3
(2)P(B)=4/12=1/3
(3)P(AB)=2/12=1/6
(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3+1/3-1/6=1/2
2. 某种零件加工必须依次经过三道工序,从已往大量的生产记录得知,第一、二、三道工序的次品率分别为0.2,0.1,0.1,并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。试求这种零件的次品率。 解:求这种零件的次品率,等于计算“任取一个零件为次品”(记为A)的概率。
考虑逆事件“任取一个零件为正品”,表示通过三道工序都合格。据题意,有:
于是
3. 已知参加某项考试的全部人员合格的占80%,在合格人员中成绩优秀只占15%。试求任一参考人员成绩优秀的概率。
解:设A表示“合格”,B表示“优秀”。由于B=AB,于是
=0.8×0.15=0.12
4. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会(即允许在第一次脱靶后进行第二次射击)。某射击选手第一发命中的可能性是80%,第二发命中的可能性为50%。求该选手两发都脱靶的概率。
解:设A=第1发命中。B=命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。
=0.8×1+0.2×0.5=0.9
脱靶的概率=1-0.9=0.1
或(解法二):P(脱靶)=P(第1次脱靶)×P(第2次脱靶)=0.2×0.5=0.1
5.已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%,超过70岁以上的概率为63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少?
解: 设A=活到55岁,B=活到70岁。所求概率为:
6.某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知,采用新生产管理流程后产品优质率达95%的占四成,优质率维持在原来水平(即80%)的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验,所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策?
解:这是一个计算后验概率的问题。
设A=优质率达95%,=优质率为80%,B=试验所生产的5件全部优质。
P(A)=0.4,P()=0.6,P(B|A)=0.955, P(B|)=0.85,所求概率为:
决策者会倾向于采用新的生产管理流程。
7. 某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品,采购数量分别占总采购量的25%、30
%和45%。这三个企业产品的次品率分别为4%、5%、3%。如果从这些产品中随机抽出一件,试问:(1)抽出次品的概率是多少?(2)若发现抽出的产品是次品,问该产品来自丙厂的概率是多少?
解:令A1、A2、A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品,B表示次品。由题意得:P(A1)=0.25,P(A2)=0.30, P(A3)=0.45;P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.05,P(B|A3)=0.03;因此,所求概率分别为:
(1)
=0.25×0.04+0.30×0.05+0.45×0.03=0.0385
(2)
8.某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的,且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。
解:据题意,在每个路口遇到红灯的概率是p=24/(24+36)=0.4。
设途中遇到红灯的次数=X,因此,X~B(3,0.4)。其概率分布如下表:
xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(X= xi) | 0.216 | 0.432 | 0.288 | 0.064 |
| | | | |
期望值(均值)=1.2(次),方差=0.72,标准差=0.8485(次)
9. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人,据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡,则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中(这里不考虑保险公司的其它费用):
(1)至少获利50万元的概率;
(2)亏本的概率;
(3)支付保险金额的均值和标准差。
解:设被保险人死亡数=X,X~B(20000,0.0005)。
(1)收入=20000×50(元)=100万元。要获利至少50万元,则赔付保险金额应该不超过50万元,等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为:P(X ≤10)=0.58304。
(2)当被保险人死亡数超过20人时,保险公司就要亏本。所求概率为:
P(X>20)=1-P(X≤20)=1-0.99842=0.00158
(3)支付保险金额的均值=50000×E贝克曼重排(X)
=50000×20000×0.0005(元)=50(万元)
支付保险金额的标准差=50000×σ(X)
=50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2=158074(元)
10.对上述练习题3.09的资料,试问:
(1)可否利用泊松分布来近似计算?
(2)可否利用正态分布来近似计算?
(3)假如投保人只有5000人,可利用哪种分布来近似计算?
解: (1)可以。当n很大而p很小时,二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中,λ= np=20000×0.0005=10,即有X~P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。 (2)也可以。尽管p很小,但由于n非常大,np和np(1-p)都大于5,二项分布也可以利用正态分布来近似计算。
本例中,np=20000×0.0005=10,np(1名与实-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995,
即有X ~N(10,9.995)。相应的概率为:
P(X ≤10.5)=0.51995,P(X≤20.5)=0.853262。
可见误差比较大(这是由于P太小,二项分布偏斜太严重)。
imsi【注】由于二项分布是离散型分布,而正态分布是连续性分布,所以,用正态分布来近似
计算二项分布的概率时,通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点,这就是所谓的“连续性校正”。
(3)由于p=0.0005,假如n=5000,则np=2.5<5,二项分布呈明显的偏态,用正态分布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。德育陶冶法
11.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布,且均值为200小时,标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的:(1)合格率是多少?(2)电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于0.9。
解:(1)=0.04779
合格率为1-0.04779=0.95221或95.221%。
(2) 设所求值为K,满足电池寿命在200±K小时范围内的概率不小于0.9,即有:
即:,K/30≥1.64485,故K≥49.3456。
12.某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务,而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。求:(1)在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少?(2)若该销售区域仅配有2名服务员,则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少?
解:设X =同一时刻需用咨询服务的商品种数,由题意有X~B(6,0.2)
(1)X的最可能值为:X0=[(n+1)p]=[7×0.2]=1 (取整数)
(2)
=1-0.9011=0.0989
第4章 抽样与抽样分布——练习题(全免)
1. 一个具有个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。