教学方法 课程教育研究
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练习是为教学目的服务的，因此课堂练习的设计要实实在在地根据一节课的教学目标，从教学内容和学生实际两方面出发，围绕教学重点难点是练习设计的核心所在。在此基础上，还要求教师在练习素材的选择上尽量贴近学生熟悉的现实生活，联系生活实际进行练习设计，使生活和数学融为一体。这样的数学练习才能体会数学是“源于生活，用于生活”，切身感受数学可以解决实际问题，使他们对学习数学更感兴趣达到事半功倍的效果。例如：学习了《方向与位置》的知识后，让学生将周围同学位置表示出来，或者尝试画出学校与自己家之间的位置与方向地图，并进行分析。这样的实践性作业，不但培养了学生学习数学的兴趣，而且提高了学生分析问题，解决问题的能力。 2.“兴趣”与“乐趣” 现代教育心理学曾说：“当学生对学习产生兴趣时，学生的心理活动就会处于激活状态，富有满足感和愉悦感，从而积极性高涨，思维活跃，注意力集中，自主学习意识增强，反之，则产生消极情感”。这就充分说明，我们设计的有效的课堂练习内容时应在“趣”上下工夫。从学生的生活经验出发固然可以挖掘快乐因素，而练习的形式和对习题处理方法上下功夫更会有独特作用。例如根据学生的年龄和心理特点，设计让学生“动一动”、“猜一猜”、“判一判”、“比一比”类能调动学生各个感官参与的练习。这样生动有趣、直观形象的数学练习可以寓练于乐，练中生趣，既能减轻学生练习的心理负担，又能提高课堂练习的效率。
【案例】
问：鸡兔同笼，有头45只，鸡兔各有多少？ 师：“全班兔子立正！提起前面两足” 全班哄堂大笑。 师：“现在，兔子和鸡的足数一样多了，上面有45个头，下面该有多少只脚呢？”
生齐声回答：“四十五乘以二等于90只” 师：“和先前比，少了多少只脚呢？” 生马上叫起来：“少了26只” 师：“这26只脚去哪了？” 生：“被兔子们提起来了” 师：“那你们现在知道笼子里有多少只兔子了吧？” 生：“有13只兔子”
（三）提高课堂练习有效性要注重练习与发展同步 小学数学课堂练习的核心是“发展”，学生的知识面能否得到拓宽，能力能否得到发展，是有效练习首要考虑的因素。那些只重视练习结果而阻碍了学生个性的发展中创新精神和实践能力的培养的旧观念显然不符合。有效的课堂练
习要做到练习与发展同步，即重视思维练习，培养学生思维能力；重视解题过程，提高学生各方面能力，从而走出重“结果”轻“过程”误区。自由绘画
1.设计有效练习，发展思维能力
练习设计的目的是要引导学生学会思考分析，学会发现问题、提出问题和解决问题。有效课堂练习在练习的过程中特别要注意学生解题思维过程，不仅要学生解出正确答案，更要知道答案怎么来的，明
白获得结论的过程。创造性教育不主张“及时评价”，因为及时的讲解、评价容易限制学生思路，使学生问题意识得不到发展，有时候只注重答案的正确与否，则在很大程度上禁锢学生思维。
在具体教学中，可设计“陷阱性”练习（即一种能“掩盖”知识（概念、法则、公式等）的本质特征，易给学生造成一种假象的练习，从而激发学生的求知欲望的练习）、“隐藏性”练习（即将问题涉及的图形或数量，赋予某种隐藏的特殊关系的练习，激发学生深入研究的积极性，提高思维的深刻性、创造性等。这样既梳理了知识，又渗透了思想方法）、“互测性”练习等。使学生在理解数学知识的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面也得到进步与发展。
2.创新练习方式，智力能力双发展 《数学课程标准》在课程实施建议中明确指出：“数学教学是数学活动的教学。” 课标理念下的小学数学课堂练习应转变古老的方式，把机械单调的练习转变为学生自己的有声有的活动。与其让学生一知半解，还不如放手让他们自己动手做一做，让学生在实践中去理解、探讨、获得知识，并把深奥、复杂的问题简单化。学生在动手又动脑的同时，不但做题准确率高，有利于学生标新立异，大胆创新，培养学生的推理能力和创新意识，还能培养学生的思维和实践能力，从而促进了智力与能力的全面发展。
结论：总而言之，提高小学数学课堂练习的有效性要紧扣学生思维能力、情感态度与价值观念等方面内容，促进学生理解和掌握基础知识，从而形成基本数学技能，实现数学应用意识和勇于创新的精神。
参考文献:
[1]孙晓阳.数学课堂练习追求“实、活、全、清”[J]. 中国科教创新导刊，2009,（21）．
[2]车晓梅.小学数学课堂练习设计的有效性[J].新校园（下旬刊），2009,（11）． [3]郭玉龙.小学数学课堂练习“八讲究”[J].商情，2010,（17）． [4]赵冬芹.浅议小学数学课堂练习的有效设计[J].学园，2011,（3）． [5]林炳雄.小学数学课堂练习的现状与思考[J].湖南教育（下旬刊），2011,（3）．
[6]王冬梅.小议数学课堂练习设计[J].考试周刊，2011，（83）． [7]李素云.数学课堂练习有效教学探究[J].大观周刊，2011（19）.
代数变形常用技巧及其应用
冯 选
（甘肃省白银市平川区第二中学 甘肃 白银 730913）
【摘 要】代数式变形的活用是中学数学教育教学中的一种重要解题方法，也是学生学习过程中的一个重点，更是一个难点。要求学生通过观察、比较、分析、联想、概括、推理、判断等一系列探究性活动，对已有条件进行加工、变换和对比，消除已知条件与所求结论之间的差异，顺利的沟通已知条 件与所求结论之间的联系，寻出解决问题的理论根据，进一步培养学生探索新知识和新方法的能力以及活用已知条件解决问题的能力。
【关键词】代数式的变形；技巧；应用。
【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）26-0071-02
数学是思维的体操。数学教学的一个重要目的是培养学生的思维品质。在数学教学中，学生以数学问题为载体，通过发现问题、分析问题和解决问题的过程，不但达到了对现实世界的空间形式和数量关系的本质的一般认识，更重
要的是通过这一过程，锻炼了学生的思维能力，提高了学生思维品质。所以数学教育教学的过程中，是发展和培养学生思维能力的核心。为此，近年来各地区中、高考题目的综合性、灵活性更强、覆盖面更广、已知条件更隐蔽，更加侧重于课本题目的再挖掘，改变其题设环境，要求学生通过观察、比较、分析、联想、概括、推理、判断等一系列探究性活动，逐步得出我们所需要的结论。这就要求我们在平时的数学教学过程中，要注意培养学生的发散性思维和创造
性思维能力，对已知条件的深层次分析，注意一题多解、一题多变、多题一解的
教学方法，注意到知识、技能和能力三者的关系是互相依存、互相促进的。因此，要重视基础知识教
学，加强基本技能的训练和能力的培养，这既是当今社
会教育对我们提出的迫切要求，也是素质教育的更高要求。 在数学的内容与内容之间、内容与形式之间、形式与形式之间，都存在着
本质上的和谐与统一，而且，统一性是数学结构美的重要标志，是数学家不懈
追求的永恒目标，也是数学的发现美与创造美的重要方法之一。而数学解题活
动的成功与否，在一定程度上又取决于能否充分的利用已知条件及其方法的有
机结合，对题设条件的充分利用是沟通已知条件与结论，以及获得实施解题方法的重要途径，因而，如何对已知条件进行准确、有效地分析，是解题活动能
否顺利进行的关键。 利用已知等式求代数式的值，是中学数学教学过程中的一种常见的题型，也是学生学习过程中的一个重点和难点，这就要求我们根据具体题目的特点，
寻比较简捷的思路、灵活的方法与技巧解决问题。举例说明如下：
1.整体求值（或解整体未知数方程） 整体思想是一种重要的数学思想，它是从问题的整体结构和整体
特征出发，对问题进行整体思考的一种解题思想。对有些数学问题，如果用常规的思维方法进行思考，往往会千头万绪，难以各个突破，而通过观察、分析，从整体入手，把一些看似彼此孤立而实质上又存在着内在联系的量做为整体来考虑，则
能化繁为简，出奇制胜。 例1：已知： 2x 2-3xy-20y 2
=0, 求 x y
的值。
分析：不可能由一个二元二次方程求出两个未知数x 和y 的具体数值，再
去求它们的比值，见此，将等式两边都除以y 2
，得：2x 3x 2()--20=0y y ， 将此等式看作是关于x
y 的一元二次方程，解关于整体未知数 x y
的方程得：
x y
＝4 或 x 5=-y 2 当然，此题还可以用下面的两种方法进行求解： （1）降次求比：将已知的一个二次方程化为两个一次方程： x-4y=0 和 2x+5y=0 , 也可以求出 x y
的比值。 （2）取特殊值：二元二次方程有无穷多个解，而要求的正好是两个未知数的比值，所以还可以试着取出x 和y 中一个未知数的值，由已知等式求出另一
个未知数的值，再求它们的比值： 当 y=1 时，x=4 或 5
2
x =-，
故 x
y ＝4 或 x 5=-y 2
2.变形活用同一等式： 对已知等式和所要求解的代数式进行观察、分析，在所求的式子中化出含有已知等式中的部分项或全部项的代数式，再整体代入，并进行化简求值。 例2：已知: a 是方程 x 2-3x+1=0 的根，求543222a -5a +2a -8a a +1的值。
燃料管理分析：要解出a 的值，再代入所要求的代数式，运算量比较大，也容易出现错误。我们可以根据已知条件a 是方程 x 2
-3x+1=0 的根， 有：a 2-3a+1=0…① a 2+1=3a…② a 2-3a=-1…③ a 3=3a 2
-a…④ 将所求的代数式根据①、②、③、④变形，可以得到以下的两种解题途径： （1）原式 3222222a (a +1)-5a (a +1)-3a =a +1 （分子部分配②）
=2a 3-5a 2-223a a +1
=2a 3-5a 2
-a （部分配①）
=2a（a 2-3a+1）+a 2
-3a=-1 （2）原式 =13（2a 4-5a 3+2a 2-8a） =13［2a 2（a 2-3a）＋a 3+2a 2-8a］
①③ ②④
③
②. All Rights Reserved.
课程教育研究 教学方法
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上海体育电视台1
3
（a3-8a） =
1
3
（3a2-9a） =a2-3a=-1
3.挖掘隐含条件
所谓隐含条件，就是题目中没有直接涉及，也不易被学生觉察到，但又包含在题目之中的限制条件。对于某些数学题目中，除已知条件外，还包含着一
答方案。例3.已知：方程 a有解，求 2a
+2a
的值。
分析：由方程有解及根式的意义，已知条件中所隐含的条件是：
①a≥0； ②2x-1=0 且 1-2x=0， 即 1
x=
2
，
则有：a故 a+2a2+
4.设比值
例4.已知
a b c
==
244
，求 2
22
(4)
a b
b c
-
+
的值。
分析：由已知等式无法求出a、b、c值，所求代数式也不可能再化简，如
果用含有同一个字母的代数式分别表示a、b、c，再代入所要求的代数式，即可
化简求其值：
设 a b c
==
244
=k，则 a=2k,b=3k,c=4k， 有
2
22
(4)
a b
b c
-
+
=
2
22
(8k-3k)
=1
9k+16k
5.取倒数
将已知条件取倒数，经过整理之后，再做恰当的运用，或将所要求的代数
式先取倒数，利用已知条件求出其值，再取倒数，即可得出所要求代数式的值。
例5.已知：1
m+=3
m
，
求m
m+m+1
的值。
分析：把代数式m
m+m+1
取倒数之后，用分子的每一项除以分母得：
2
2
1
m++1
m
，
其中含有2
1
(m+
m
的平方项m2和
2
1
m
，
而由已知条件两边平方后，可得：2
1
(m+)9
m
=，2
2
1
m+=7
m
，
则m+m+11
m18
m m
=++=，再取倒数，即得所求代数式的值为
1
8
。
6.利用根与系数的关系
根据方程写出根与系数的关系，并将所求代数式变形，整理成只含有两根
之和、两根之积和常数项的式子，再代入求值。
例6.已知方程 x2-3x-2=0 的两个实根为x1、x2，则：
①21
12
x x
x x
+=_______ ②33
12
x x
+=_______ ③12
x x
-=________
分析：根据题意有： 12
x+x=3，
12
x x=-2
则①
222
211212
121212
x x x+x(x+x)913
+==2=2
maxplus2下载x x x x x x22
---=-
②33222
121212121212
x+x=(x+x)(x+x x
+x
)=3(x+x)-3x x=3(9+6)=45
⎡⎤
⎣⎦
③
12
x-x
或12
x-x
所谓分类讨论，就是把原问题分解成相对独立的几个小问题来处理，综合
对这些小问题的解答，便可以推证出原问题的结论。它的步骤一般是：首先，
确定讨论的对象，以及被讨论对象的全域；再合理分类，统一标准，做到既无
遗漏又无重复，逐类讨论，分级进行；最后归纳总结做出整个题目的结论。
对于题目中所给出的条件，并非都是单一存在的，各种条件的配置、利用，
也不都是孤立形成的，而是协调统一的。将这些不同的条件，通过有序的配置，
并连接在一起，才能构成一条合理的解题思路，形成一定的解答推理过程。因
而，在分析已知条件，尤其是在考虑条件的配置时，应注意到条件与条件之间，
以及条件配置之间的相互关联性，同时也要紧密联系结论，这样才能迅速地得
到解题的思路。
例7.求函数y=asinx+b的最大值，并出取最大值时x的集合。
分析：在此函数解析式中，x为自变量，a、b为常数，而对函数值的大小
来说，起决定性作用的是a与sinx的积，这就需要根据a与sinx的取值，具体
的分情况讨论。
解：若a>0，当sinx=1时，函数取得最大值为max
y=a+b，而取此最大值时
x的集合为：x x=2k+,k z
2
π
π
⎧⎫
∈
⎨⎬
⎩⎭
；
若a=0，无论sinx为何值时，y=b，为常函数，函数没有最大值；
若a<0，当sinx=-1时，函数取得最大值为 max
y=-a+b，而取此最大值时
x的集合为：
x x=2k-,k z
2
π
π
⎧⎫
∈
⎨⎬
⎩⎭
综观上述分析，在解题教学中，需要选取形式不同、性质相近、思路相仿、香药
方法类同的题目，把它们集中串联在一起，使学生对同一概念、同一公式，在
不同场合中的运用有所了解、有所启发，从而发现规律，看到一个题目是一批
题目的代表，使其能掌握一种方法、解决一类问题。我们在解决某些数学问题
时，题目中所提供的特殊信息（如代数式的结构、数量、数量关系式、图形等）
往往暗示着解题的方向，如果能够善于把握这些特征，并与学生记忆中所储存
的相关信息相互碰撞，那么它就能够激发学生思维的灵感，迅速、合理、有效
地排除思维定势的干扰，使问题得以解决。以有利于激发学生的学习兴趣、提
高学生的探究能力，培养学生的发散思维能力和创造性思维能力。而思维需要
联想，联想就能出妙解。如果能够从题设条件中挖掘出问题的结构特征，并将
其转化为我们所熟悉的问题，就能够迅速获得问题的解决。这就要求我们在平
时的教育教学过程中，要能够让学生表现出勤于动手、动脑、手脑并用、和谐
一致的习惯；能够主动采取动态的、对立统一的、相互转化的观点研究和解决
有关的数学问题；使学生的思维能力和解决问题的能力有质的飞跃，已达到提
高学生综合素质的目的。
浅谈小学数学教学中创新能力的培养
高寿年
（河北省文安县大柳河镇常久村中心校 065800）
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）26-0072-02
创新是民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。创新能力的培
养是素质教育的核心。随着时代的发展，对人才需要越来越高，具有创新能力
是现代新型人才的标志。而培养学生的创新能力决非朝夕之功，创新能力是一
种智力特征，一种综合素质。在课堂教学中关注学生创新意识的培养，才能形
成稳定持久的创新能力。
一、创设民主和谐的师生关系，营造学生勇于创新的氛围
要培养学生的创新能力，首先要为学生营造一个宽松、民主和谐的学习气
氛。新课标指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者
重返时间之旅和合作者。而要体现学生的主体性，教师应首先转变观念，充分关心、尊重、
信任、善待学生，让学生勇于大胆发言、讨论、各抒己见，真正地敢说、敢想、
敢做。即使学生回答错了，教师也要善意地一笑，轻声地告诉他：“你再想想”，
而后稍加点拨启迪，或者请大家讨论该问题，帮助解决；在课堂上，教师应尽
量使用激励性语言如“你真棒”、“你的表现真好”、“你的回答真精彩”等
等。让学生感受到教师的关心、成功的快乐。这样使学生的思维始终处于积极
活跃的最佳状态，为学生有所创新提供保证。例如，当学生学习了长方形和正
方形的面积后，出这样一题让学生讨论：一个长方形的长增加了3厘米，宽减
少3厘米，所得的长方形面积与原来面积一样大吗？这一问，充分引起了学生
的兴趣，大家议论纷纷，争着回答。一部分学生说一样大，另一部分学生虽然
觉得这个答案不对，但又不知怎样才能说明，便都把眼睛看着老师，迫切想得
知结果。这时，教师不要急于表态，因为此时学生大脑产生兴奋，大脑在兴奋
期里最容易暴发出思维的火花。所以，要把握时机，让他们在练习纸上画画拼
拼比较，很快就得出了自己的正确答案。结果并不重要，而过程却是创新能力
的经验。因此，要进一步地引导。提问：你们发现了什么规律？学生兴趣很高，
继续动手、动脑、讨论、探索。纷纷答到：所得到长方形的周长相等。如果长
与宽之差越小的长方形面积越大；当长、宽相等时，便成了正方形，正方形的
面积最大。在这过程中，学生的求异思难得到了极大的发展。总之，让学生积
极思维主动参与学习过程，是学生学好数学的关键，是培养创新能力的有效途
径。师生情感的积极互动发展，便营造学生创新能力的氛围。
二、 精心设疑，适时激趣，激发学生勇于创新的意识。
兴趣是最好的老师。兴趣越浓，学习的积极性越高，越有利于培养学生的
创新能力；学源于思，思源于疑。有疑问才能引起思考，才可能引发创新的欲
望。教师在课堂教学中，要精心设计疑问，挖掘有趣的因素，激发学生的求知
欲，使学生燃起求知创新的烈焰。
例如在教学面积含义时，我首先出示两个长方形，一个长3分米，宽2分
米，另一个长5分米，宽1分米。然后进行课堂谈话：这是两块菜地，狮子大
王要把这两块地分给山羊和狐狸，忠厚的山羊让狐狸先挑选，狐狸急急忙忙挑
了这一块（后一个长方形）。狐狸这次占到便宜了没有？这一问题的设置，激发
了学生的学习兴趣，使学生自然生发这样的疑问：到底用什么方法来比较这两
块菜地呢？这样运用矛盾有效激疑，为后面学生探究出面积大小的比较方法提
供了创新动力。
三、结合实际 、鼓励合作，唤起学生勇于创新的热情。
新课程理念提出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手
实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此，在教学中，应
改变传统的“教师演，学生看”的被动局面，抓住学生爱表现自己的特点，多
给学生合作的机会，多让学生动手操作。在学习的过程中，学生在与同学共同
操作、相互讨论、交流中促进智力的发展，也为学生的学习搭建了更为开放的
舞台，极易唤起学生的创新热情。如在学习了《角和直角》后，为了让学生更
好地掌握知识，我提出了一道思考题：要求学生在一张白纸上剪去一个角后，
还剩几个角？学生带着疑问，先独立思考，然后在小组中进行交流，根据自己
的想法，动手剪出不同形状的角。最后小组整理出结果，再向全班汇报。剪了
一个角后，有的还剩3个角，有的还剩4个角，有的还剩5个角......由于剪法的
不同，所以得出不一样的结果。这样引导学生多动手、动脑，展开想象的翅膀，
自由探索、自由发挥，促进了每个学生的智慧和潜能的发展。每个人都兴高采
烈，洋溢着主人翁的自豪感，小组合作的优势发挥得淋漓尽致。像这样灵活开
放的课堂，学生能主动参与动口、动手、动脑，全身心的投入独立思考与探索，③
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