旋转球体下落问题的研究
江俊勤1
姜付锦2
(1.广东第二师范学院物理与信息工程系，广东广州510303;
2.湖北省武汉市黄陂区第一中学，湖北武汉430300)
摘要：以北京市2020年高考物理第14题为例，使用通用软件M athem atica 对不同转速篮球下落的运动规律 进行数值模拟.结果表明：决定落球能否向上运动的是球的转速够不够高，而非人所站高度够不够；如果球的 转速足够大则落差不大就实现向上运动，如果球的转速不够大则人站得再高也无法实现向上运动.该考题的 表述不准确、容易让人产生误解. 关键词：旋转落球；马格努斯力；Mathematica -11.3；数值分析
1局考原题简述
在无风的环境里，某人在高处释放静止的篮
球.篮球竖直下落；如果先让篮球以一定的角速度 绕过球心的水平轴转动（如图1所示）再释放，则 篮球在向下掉落过程中偏离竖直方向做曲线运 动.其原因是，转动的篮球在运动过程中除受重力 外，还受到空气施加的阻力/，和偏转力/2.这两 个力与篮球速度r 的关系大致为：兑，方向 与篮球运动方向相反；/2 = 々0.方向与篮球运动
方向垂直.下列说法正确的是
水平轴 y
图1下落前的旋转篮球
(A ) 、怂是与篮球转动角速度无关的常数.
(B ) 篮球可回到原高度且角速度与释放时的 角速度相同.
(C ) 人站得足够高，落地前篮球有可能向上
运动.
除.在了解/，和/2的特点后也不难排除选项
(D )；从考试答题角度讲，答案无疑就是选项（C ) 了.然而，人们对于选项（C )仍然存在疑惑：难道落 地前篮球能否向上运动取决于人所站的高度？而 不是篮球的转速？为了解答这种疑惑，本文利用 通用软件Mathematica 研究不同转速对篮球下落 运动规律的影响.
2马格努斯力与旋转球体的运动方程
球旋转时会带着与它接触的那部分空气一起 旋转，形成一个跟球一起旋转的附着空气层.这 样，球一
侧的附着层中空气的运动方向与相对于 球体的气流方向相同，而另一侧则相反，从而球的 一侧气流运动速度比另一侧的大.根据流体力学 原理，气流运动速度较大的一侧压力较小，气流运 动速度较小的一侧压力较大•球两侧压力不同，使 球的运动方向发生偏转.这种效应是德国物理学 家马格努斯（H . Magnus )发现的，故称之为“马格 努斯效应马格努斯效应在足球、乒乓球、网球和
棒球等运动中也得到广泛应用.相应的作用力称 为马格努斯力.
篮球受重力、空气阻力和马格努斯力的共同
作用•空气阻力为/, =
—
k v 2v ° =
百事可乐猴年广告—
kv v =
(I ))释放条件合适，篮球有可能在空中持续 一段水平直线运动.
这是北京市2020年高考（普通高中学业水平 等级性考试）物理第14题，考查的知识点包括牛 顿第二定律、运动的分解与合成、机械能守恒和流 体压强（马格努斯力）等.选项（A )和（B )容易排
—k \/x '2 + y 'z +z *2 (.j r 'i
y 'j +z 'k ).
(1)
式中，々为比例系数，由篮球的半径r 、空气密度p 和阻力系数f 共同决定：々=(1/2)«:，2.
马格努斯力的大小和方向由下式给出
/? =
i t p r 3 to X w.
(2)
88
式中为篮球瞬时转动角速度为篮球相对于
空气的速度.
由牛顿第二定律得球心（_r〇，Z)的运动方程
mx"=—k V x，2+jy，2+z，2x，+A(a>vz，_w,y')
m y=—k\f x'2y'1~\~z'2y'—coxz')
m z=—k\Z x，2 ~\~y'1 -\-z2z'+
Xiu)xy' —a>y x')~m g.(3)式中，w为球的质量，义=(8/3)71^3.
物理常数分别为i〇=l.29 kg/m3，c=0.5，g= 9.8m/s2；篮球的质量w和半径r取国际标准值/«=0•60 kg，r=0. 123 m•所以只要给定篮球初始位 置(初始速度为〇)和转动角速度fi>.式（3)就是一个 定解问题，使用通用软件Mathematica容易得到篮 球在向下掉落过程中偏离竖直方向的运动轨迹.
3数字化研究
设f时刻篮球的角速度为〇»，取J轴在转动轴 上（如图1所示），z轴竖直向上，轴垂直于纸面向外，则 C I=—C O_/，即C O_v=—C O，C t l.r=0^ =0；为了让 篮球有足够的下落空间，取Z的初值（即人所站高 度）为100m.
设篮球绕中心轴的转动惯量为/，初始角速度 为所受空气阻力矩M正比于转动角速度，比例常数为卩，则 < 时刻篮球的转动角速度满足
7哿=M=-沪.
令/■<=)?/■?，得篮球角速度随时间/的变化规律
w=co〇e^.(4)
给定处，和"的值，把和（4)式代人(3)式，就可求球心的运动规律.
3.1忽略空气阻力矩的情形（fx=0)
记〇>。=2:rn，r；为篮球初始转速，当《=8r/s 时，20s内篮球速度各分量的变化规律如图2所 示.％ =0说明篮球始终在平面内运动，图3 给出了 20 S内篮球的运动轨迹，图2和图3都表 明：当8r/s时落球很快就出现向上运动的情况（％>0)而且后面还会出现两次，具体的数据是下落高度只需6.9566 m就出现第一次向上运动，历时2.03461 s;«越大出现向上运动所需落差越小、次数越多.
当转速较低时，不论人站多高（不论落差多大），都不可能出现向上运动的情况，当《=3.5 r/s 时就是这种情况，篮球从释放到着地的运动轨迹如图4所示；落球能否出现向上运动主要取决于转速《，
〃存在分界值（临界点），当P==〇时临界值在n=5. 1r/s附近，当《=5. 1r/s时20 s内篮球 速度各分量变化规律如图5所示，运动轨迹如图6所示，在4.4 S附近％取最大值、最大值约等于0.
w/m.s—1
图2不计空气阻力矩，当转速n=8r/s时
20 s内篮球各速度分量的变化规律
z/m
图3不计空气阻力矩，当转速《=8!"/8时
20 s内篮球的运动轨迹
图4不计空气阻力矩，当转速n= 3. 5r/s时
篮球从释放到着地（历时18. 2898 s)的运动轨迹
图5不计空气阻力矩，当转速n=5_ 1r/s时
赵东宛20 s内篮球各速度分量的变化规律
8
9
图6不计空气阻力矩，当转速《 = 1 r /s 时
20 s 内篮球的运动轨迹
3. 2空气阻力矩对篮球轨迹的影响关0)
更切合实际的情形是旋转篮球下落过程受空
气阻力矩作用，转速慢慢减小，本文取^ = 0. 05, 20 s 内篮球角速度从 〇)〇 减小为 o ;〇/e •当 ” =8 r/s 和" = 0. 05时，20 S 内篮球速度各分量变化规律 如图7所示，运动轨迹如图8所示，出现向上运动 的落差和时间都略有增加，落差为7. 7698 m 、历时 2. 25466 s ，而且只出现一次向上运动的情况.这
就 是说，由于受空气阻力矩作用，要使篮球下落过程 出现向上运动的情况，需要在释放前给予篮球更 大的转速，当” = 6. 3 r /s 和/« = 0• 05时，20 s 内篮 球速度各分量变化规律如图9所示，运动轨迹如 图10所示，出现向上运动情况的转速临界点在 n = 6. 3 r/s 附近.
!；/
〇!• S 1
图9
考虑空气阻力矩，当转速n = 6. 3 r /s 时 20 s 内篮球各速度分量的变化规律
图10考虑空气阻力矩，当转速《 = 6. 3 r /s 时
山莨菪碱20 s 内篮球的运动轨迹
此外，图7显tk 在20 s 末％仍然处于增长状 态，这是由于％持续长而w 还比较大决定的，随着
篮球继续下落继续减小，％在24. 2204 s 处开 始减小；对于较小的转速《 = 6. 3 r /s ,%则是在 19. 4159 s 处就开始减小的，如图9所示.
4
结论和讨论
北京市2020年高考（普通高中学业水平等级 性考试）物理第14题，以从高处释放旋转篮球的 生活场景为素材.通过给定新知识，考查考生结合 已有知识，并学习和应用新知识解释客观世界物 理现象、探究物理问题的能力，集应用性、综合性 和创新性为一身，是难得的好题目.但是题目关于 “正确”答案的选项（C )的表述存在欠妥之处，会产 生误导，误以为落地前篮球能否向上运动取决于 人所站的高度，而不是取决于篮球的转速.为了消 除误解.我们利用通用软件Mathematica 研究不 同转速对篮球下落运动规律的影响.由于篮球的 质量W 和半径r 取实际数据并考虑了空气阻力矩 的作用，本文的数字结果能描述旋转落球的实际 情况，并对该高考题的表述所产生的疑惑做出解 释.主要结论如下.
(1)如果篮球转速足够大，则落差较小就可以 实现向上运动的情况而且会多次出现，转速《越 大、出现向上运动所需的落差就越小.当《==8 r/s
9
和^ = 0(即不计空气阻力矩的影响）时，下落高度 只需6. 9566 m 就出现第一次向上运动，历时 2.03461 s (后面还会有第二次甚至第三次向上运 动）；更多的模拟表明，如果转速提高到《=15 r /s , 则下落高度只需1.9652 m 就出现第一次向上运 动.历时1.01675 s ，接着会在该高度附近反复多次
出现向上运动的情形，类似于减幅振动.(2) 如果篮球转速w 不够大，则不论落差多大 (即不论人站得多么高）都不能实现向上运动的情 况；能否向上运动主要取决于篮球转速t 它存在 一个分界值（临界点）
，当不计空气阻力矩的影响 时，篮球转速分界值在w = 5. 1 r /s 附近.当《< 5. 1 r /s 时，不会出现向上运动的情况.
有袋目(3) 空气阻力矩对实际的旋转落球运动轨迹 也有明显的影响，以"=〇.〇5为例，20 s 内篮球角(上接第87页）
升学生的学术水平能力.
有限元仿真模拟需要具体的参数设置，本题
的有限元数值模拟参数设定如下：B = 1 T , L = 1
= 1 k g , w 2 =2 k g ，两个棒的总电阻/?=
1 n .同时右边导体棒受到水平向右恒力F =10 N 作用，仿真时间为5 s .仿真结果如图5所示.学生 可以通过动画仿真结果，看到导体棒的运动以及 相对应的和a 实时对应变化，数值模拟结果进一步验证定性分析的可靠性和精确求解的结 果的正确性，也让学生有更直观体验，加深认识.
学业质量评价体系是以学科核心素养为主 要维度，学科核心素养是学科育人价值的集中体 现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值 观念、必备品格和关键能力.本题综合考查力 学和电磁感应等
知识点，体现出核心素养的运动 观念（导体棒运动过程分析）和相互作用观念（导 体棒受到安培力作用），也很好的体现出模型建 构（双棒模型）、科学推理（a -Z ，u -Z ，s -/变化趋
速度从_减小为吻/e ，为了使篮球出现向上运动 的情况，需要在释放前给予篮球更大的转速，临界 转速从” = 5. 1 r /s 附近提高到《 = 6.3 r /s 附近； 当n =8 r /s 和p = 0.05时，落球出现向上运动状 态的落差从6. 9566 m 增加7. 7698 m ，而且全程只 能出现一次向上运动的情况.
综上所述，决定落球能否向上运动的主要条
件是篮球的转速够不够高，而非人所站的高度够 不够；如果篮球的转速足够大则落差很小就出现 向上运动情况，如果篮球的转速不够大（低于临界 转速）则人站得再高也无法实现向上运动.该考题
答案（C )的表述宜去掉“人站得足够高”，直接改为
“(C )落地前篮球有可能向上运动”；或者改为
“（C )若转速足够高，落地前篮球会向上运动(收稿日期：2020 —07 — 20)
势）和质疑批判的科学思维，非常好的体现了高 考试题的选拔和育人功能.
围绕新高考评价体系考查要求展开解题策略 教学探索能有效的提高教学质量和学生的核心素 养水平.在电磁感应双棒模型中，不可避免会出现
反电动势问题的考查，笔者建议可根据文中的“探 索1”开展适当定性拓展分析，简化思维过程，提升 科学思维；但是这种方法只能判断大致变化趋势， 无法得到精确的结论；对于学有余力的同学乃至 教师，可以根据文中的“探索2”开展精确数学推 导，加深对模型的认识，提高科学推理水平.这种 方法对学生和教师的数学水平要求较高，有利于 深化模型认识深入挖掘，追求物理发现内在规律， 拓展视野，但不建议学生在考试中，特别是选择题 使用这种方法；对于计算机水平不错的教师，可根 据文中的“探索3”，针对疑难物理情境，借助科技 力量，创设更多的可视化模型，提升课堂教学质 量，提高学生的核心素养.这种方法直观、结果清 晰，学生对物理情境一目了然，教学效果更佳，但 是，对教师的计算机水平有提出了更高的要求.综 上，教师可根据不同学生学情，三种探索方法可灵
活配合使用，以期达到提升学生核心素养水平的 最佳效果.
参考文献：
1中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017 版）[S ].北京：人民教育出版社，2018.
2
电脑故障诊断大师和平县教育局梁旭.如何确定素养目标与素养水平[J ].物理教师， 2018,39(2) ：2 —5.
(收稿日期：2020 — 08 —
20)
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