第十二讲解三角形
2019
年 1. （全国Ⅱ文）15ABC △ 的内角A ，B ，的对边分别为C a ，b ，c b .已知sin +cos A a B =0，则B =___________. 中南工业大学2.（2019全国Ⅰ文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a A sin －b B c sin =4sin C ，
cos =A －14
，则
b c
=
A ．
6 B ．
5 C ．
4 D ．3
3.（2019北京文15）在△ABC 中，a=3， –2b c =，cosB=1
2
−． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B C +）的值．
4.（2019全国三文18）ABC △ 的内角A B C a b c 、、的对边分别为、、，已知
sin sin 2
A C
a b A +=． （；1）求B
（2）若ABC △ 为锐角三角形，且，求c =1ABC △面积的取值范围．
5.（2019 天津文16）在ABC 中，内角 A B C ，
，所对的边分别为,,a b c .已知 2b c a +=， 3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cosB 的值； （Ⅱ）求 sin 26B π⎛
⎫防火墙技术的应用
+
⎪⎝
⎭
的值. 6.（2019 江苏15）在△ABC 中，角，A B ，的对边分别为，，．C a b c （1）若a c =3，b =2，cos =
B 2
3
，求的值；c （2）若
sin cos 2A B a b =，求 sin()2
B
π
+的值． 7.（浙江）在201914ABC △中， 90ABC ∠=︒， 4AB =， 3BC =，点D 在线段AC 上， 若 45BDC ∠=︒，则BD =____， cos ABD ∠=________.
2010-2018
年一、选择题
1(2018 ．全国卷Ⅱ在)△ABC 中，5
cos
25
=
C ，1=BC ，5=AC ，则=AB A ．42 B ．30 C ．29
D ．25
2(2018．全国卷Ⅲ)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积
为
2224
a b c +−，则C =
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 32017 ．（ 新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知 sin sin (sin cos )B A C C +− 0=， 2a =，2c =，则C =
A ．
12π B ．6π C ．4π D ．3
π
42016 I ．（ 全国）的内角、△ABC A B 、的对边分别为、、．已知C a b c 5a =
，2c =，
2
cos 3
A =
，则b = A ．2 B ．3 C ．．2D 3 52016 ．（ 全国III ）在ΔABC 中，4
B π
=
，BC 边上的高等于
1
3
BC ，则 sin A = A ．
310 B ．1010 C ．55 D ． 31010
62016 ．（山东）ABC △ 中，角，A B ，C 的对边分别是，a b ，c ，已知22
,2(1sin )b c a b A ==-， 则A = A ．
3π
4
B ．π3
C ．π4
D ．π6
7(2015)．广东设ΑΒC ∆的内角 ,
,
A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若 2a =，23c =，3
cos 2
A =
，且b c <，则 b =
A ．3
B ．22
C ．2
D ．3 8(2014 ．新课标2)钝角三角形ABC 的面积是12
，1AB =， 2BC =
，则AC =
A 5
B ．．5
C 2
D 1
．． 92014 ．（重庆）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足
sin 2sin()A A B C +−+= sin()C A B −− 1
2
+
，面积S 满足 12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是
A ． 8)(>+c b bc
B ． ()162ab a b +>
C ． 126≤≤abc
D ． 1224abc ≤≤
10．（ 2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2
c = 2
()6a b −+，3
C π
=
，则ABC ∆的面积是
A 3
B ．．
239 C ．2
3
3 D ．33 11．（201
4 四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，
C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于
A
C
B 60m
75
°
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30°
A ． 240(31)m −
B ． 180(21)m −
C ． 120(31)m −
D ． 30(31)m +
12．（ 2013新课标）已知锐角1ABC ∆的内角 ,
,A B C 的对边分别为,,a b c ，2
23cos A + cos 20A =，7a =，6c =，则 b =
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
13．（2013辽宁）在ABC ∆，内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若 sin cos a B C +
1
sin cos 2
c B A b =，且a b >，则B ∠=
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56
π
14．（ 2013天津）在△ABC 中， ,2,3,4
AB BC ABC π
∠===则 sin BAC ∠=
A ．
1010
B ．
105 C ． 31010教师行动网
D ．
5
5
15．(2013)陕西设△的内角所对的边分别为ABC A B C , , a b c ,,，若 cos cos sin b C c B a A +=,
则△的形状为ABC
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形大庆油田公司主页
16．(2012 广东)在ABC ∆中，若 60 ,45 ,32A B BC ︒︒ ∠=∠==，则 AC =
A ．43
B ．23
C ．3
D ．
3
2
17．（2011 辽宁）
ABC ∆ 的三个内角，A B ，C 所对的边分别为，a b ，c ，2
sin sin cos a A B b A + 2a =，则
=a
b
A ．23
B ．22
C ．3
D ．2
18．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且 ,23AB AD AB BD ==，
2BC BD =，则sin C 的值为
B
A
C
D
A ．
33 B ．36 C ．63 D ．6
6
19．（2010 湖南）在ABC ∆中，角 ,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=，
2c a =，
则
A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题
20．(2018全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A B
C ，，的对边分别为 a b c ，，，已知
sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，
222 8b c a +−=，则△ABC 的面积为__．
21．(2018 浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若7a =， 2b =，
60A =，则sin B =___________，c =___________．
22．(2018 北京)若ABC △的面积为
2223()4
a c
b +−，且C ∠为钝角，则B ∠= ；c
a 的
取值范围是．
23．(2018 )江苏在ABC △中，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 120ABC
∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且 1BD =，则4a c +的最小值为．
24．（ 2017新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos cos b B a C c A =+，则 B =
25．（ 2017新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =，三星i560
6b =， 3c =，则A =_______．
26．（2017 浙江）已知ABC ∆， 4AB AC ==， 2BC =． 点D 为AB 延长线上一点， 2BD =，
连结CD ，则BDC ∆的面积是_______， cos BDC ∠=_______
． 27．（ 2016全国Ⅱ）△的内角ABC A ，，的对边分别为，B C a b c ，，若4cos 5
A =
， 5
cos 13
C =
， 1a =，则 b =_____． 28．（北京）在2015 △ABC 中，2 3,6,3
a b A π
==∠=，则B ∠= _________ ． 29．(2015)重庆设ABC ∆的内角
,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 2a =，1
cos 4
C =−， 3sin 2sin A B =，则c =________
． 30．（ 2015安徽）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ，
45=∠B ，则=AC ．
31．(2015 福建)若锐角ABC ∆的面积为 103，且5AB =， 8AC =，则BC 等于．
32．(2015 新课标在平面四边形1)ABCD 中， 75A
B C ∠=∠=∠=， 2BC =，则AB 的取值范围是_______
． 33．（2015 天津）在ABC ∆中，内角 ,
,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 315，2b c −=，1
cos 4
A =−，则a 的值为．
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