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高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解

一、选择题

1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )

A．y＝x＋

B．y＝cosx＋

C．y＝

D．y＝ex＋－2

[答案]　D

[解析]　x<0时，y＝x＋≤－2，故A错；∵0<x<，∴0<cosx<1，∴y＝cosx＋≥2中等号不成立，故B错；∵≥，∴y＝＋≥2中等号也取不到，故C错，∴选D.

2．(文)(2010·山东潍坊质检)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )

A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4

国外雾霾C．－2<m<4 D．－4<m<2

[答案]　D

[解析]　∵x>0，y>0，且＋＝1，

∴x＋2简明仁y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又＋＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.

(理)(2010·东北师大附中)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am器官移植论文，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )

A. 　 B. 　

C. 　 D．不存在

[答案]　A簧片

[解析]　由已知an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋，∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2，

∵＝4a1，∴a12·qm＋n－2＝16a12，∴m＋n－2＝4，

∴m＋n＝6，

∴＋＝(m＋n)＝≥w890i＝，等号在＝，即n＝2m＝4时成立．

3．(2010·茂名市模考)“a＝”是“对任意的正数x，均有x＋≥1”的( )

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

[答案]　A

[解析]　∵a＝，x>0时，x＋≥2＝1，等号在x＝时成立，又a＝4时，x＋＝x＋

≥2＝4也满足x＋≥1，故选A.

4．(2010·广西柳州市模考)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

[答案]　A

[解析]　a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正数时，由1＝a＋b≥2得4ab≤1成立，故a＋b＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.

5．若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

[答案]　D

[解析]　∵为a、b的等差中项，∴a＋b＝×2＝1.

a＋＋b＋⇒1＋＋＝1＋＝1＋，

∵≤，∴ab≤＝.∴原式≥1＋4.

∴α＋β的最小值为5.故选D.

6．(文)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案]　D

[解析]　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1.

∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.

当且仅当a＝b＝时取等号．

(理)半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为( )

A．8 B．16 C．32 D．64

[答案]　C

[解析]　根据题意可知，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．故a2＋b2＋c2＝64，而S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝(ab＋ac＋bc)≤＝＝32.

等号在a＝b＝c＝时成立．

7．(文)已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．(，＋∞)

C．(1，) D．(1，]

[答案]　D

[解析]　由题设条件知，a<b＋c，∴>1，

∵a2＝b2＋c2，∴＝≤＝2，∴≤.故选D.

(理)已知F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．(1,2]

C．(1，] D．(1,3]

[答案]　D

[解析]　＝＝＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c，即e＝≤3，∴e∈(1,3]．

8．(2010·南昌市模拟)已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案]　B

[解析]　∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴0<a<1，设t＝2a，则t∈(1,2)，M＝2a＋2南湖半岛花园b＝2a＋21－a＝t＋≥2，等号在t＝时成立，又t＝1或2时，M＝3，∴2≤M<3，故选B.

9．(2010·河南新乡调研)已知全集R，集合E＝{x|b<x<}，F＝{x|<x<a}，M＝{x|b<x≤}，若a>b>0，则集合M等于( )

A．E∩F B．E∪F

C．E∩(∁RF) D．(∁RE)∩F

[答案]　C

[解析]　∵a>b>0，

∴a＝>>>＝b，

如图可见集合M在E中，不在F中，故M＝E∩∁RF.

10．(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ(λ>0)，＝μ(μ>0)，则＋的最小值是( )

A．9 B.

C．5 D.

[答案]　D

[解析]　＝－＝(＋)－

＝(λ＋μ)－＝＋，

＝－.

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